距離空間であることの証明の練習にどうぞ。
平面と通常の距離
上の任意の元 に対して、
とおく。
を で定める。
は距離空間である。
この を通常の距離または、ユークリッド距離という。
証明
距離を, で定めているので,
これを、前記事「n次元ユークリット空間はノルム空間」で定義したノルム ( n = 2 の場合 ) を使って表すと,
である。
よって, これは を で定めていることと同じである。
これに, 注意したうえで, が距離の定義を満たしていることを確認していけばよい。
をとる。 で表す。
平方根の定義より, である.
また,
.
以上より, .
以上より,
(ノルムの定義より)
以上より, .
結論: を満たしたので, は 上の距離であり, は距離空間である.