n次元ユークリット空間はノルム空間

n 次元ユークリット空間の定義とノルム空間であることの証明を紹介します。

n次元ユークリッド空間とは

$\mathbb{R}^n$ は $\mathbb{R}-$ 線形空間であることに注意する.
$\|\cdot\|_2$ : $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ を $\|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2+\cdots+x_n^2}$ $(x =(x_1,x_2,\cdots,x_n))$ で定める.
このとき, $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_2)$ はノルム空間である.
そして, この空間をn次元ユークリット空間という。

$(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_2)$ がノルム空間であることを証明するためには,
$\|\cdot\|_2$ がノルムの定義(ノルムの定義はこちら。)を満たしていることを確かめればよい.

(N1), (N2), (N3) の順に示していく.

(N1)

$(N1)$ ${}^{\forall}x \in \mathbb{R}^n$ に対し, $\|x\|_2 \ge 0$ で, $「\|x\|_2 = 0 \Leftrightarrow x = o」$ を示す.
${}^{\forall}x \in \mathbb{R}^n$ をとる.
$x =(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ とかく.
このとき,
$\|x\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2+\cdots+x_n^2} \ge 0$ なので, $\|x\|_2 \ge 0$ .

また,
$\|x\|_2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x_1^2 + x_2^2+\cdots+x_n^2} = 0$
$\Leftrightarrow x_i =0 (i =1,2,\cdots,n)$
$\Leftrightarrow x = (0,0,\cdots,0)=o.$

よって (N1) は示された.

(N2)

$(N2)$ ${}^{\forall}x \in \mathbb{R}^n$ , ${}^{\forall}\alpha \in \mathbb{R}$ に対し, $\|\alpha x\|_2 = |\alpha|\cdot\|x\|_2$ を示す.
${}^{\forall}x \in \mathbb{R}^n$ , ${}^{\forall}\alpha \in \mathbb{R}$ をとる.
$x =(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ とかける.
このとき,