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ノルム空間の定義と基本性質

ノルム空間の定義と基本性質を紹介。

ノルム空間の定義

Xを線形空間とする. \|\cdot\|: X\to \mathbb{R}が次の条件を満たすとき, この\|\cdot\|をノルムといい,
ノルムの定まった線形空間 X をノルム空間という.

(N1) {}^{\forall}x \in X に対し, \|x\| \ge 0 で, 「\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0」.

(N2) {}^{\forall}x \in X {}^{\forall}\alpha \in \mathbb{K}に対し, \|\alpha x\| = |\alpha|\cdot\|x\|.

(N3) {}^{\forall}x, y \in X に対し, \|x + y\| \le \|x\|+\|y\|.

スウガくん
(N3) は 三角不等式 だね！

(N3)から導かれる簡単な基本性質

(N3) より,以下の①, ② が成立する.

① \ x_i\in X (\ i = 1,2,\cdots,n)\ とする.
このとき, \|\sum_{i=1}^{n} x_i\| \le \sum_{i=1}^{n}\|x_i\|.

② x,y\in Xとする. |\|x\| - \|y\| |\le \|x - y\|.

証明

①　\|x_1 + x_2 +\cdots+x_n\|
\le \|x_1\|+\|x_2 + \cdots +x_n\|
というように, (N3) をn-1 回繰り返せばよい.

②　x,y\in Xとする.

(N3) より,
\|x\| = \|(x - y) + y \|
\le \|x - y\| + \|y\|.

よって,
\|x\| - \|y\| \le \|x - y\| .  (※)

さらに, (N3) より,
\|y\| = \|(y - x) + x \|
\le \|y - x\| + \|x\|
= \|x - y\| + \|x\|.

よって,
\|x\| - \|y\| \ge - \|x - y\|.

(※) と合わせて, |\|x\| - \|y\| |\le \|x - y\|.　□

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