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ノルム空間の定義と基本性質

2021年7月5日

ノルム空間の定義と基本性質を紹介。

ノルム空間の定義

$X$ を線形空間とする. $\|\cdot\|$ : $X\to \mathbb{R}$ が次の条件を満たすとき, この $\|\cdot\|$ をノルムといい,
ノルムの定まった線形空間 $X$ をノルム空間という.

$(N1)$ ${}^{\forall}x \in X$ に対し, $\|x\| \ge 0$ で, 「 $\|x\| = 0 \Leftrightarrow x = 0$ 」.

$(N2)$ ${}^{\forall}x \in X$ ${}^{\forall}\alpha \in \mathbb{K}$ に対し, $\|\alpha x\| = |\alpha|\cdot\|x\|$ .

$(N3)$ ${}^{\forall}x, y \in X$ に対し, $\|x + y\| \le \|x\|+\|y\|.$

スウガくん

$(N3)$ は三角不等式だね！

(N3)から導かれる簡単な基本性質

$(N3)$ より,以下の①, ② が成立する.

① $\ x_i\in X (\ i = 1,2,\cdots,n)\$ とする.
このとき, $\|\sum_{i=1}^{n} x_i\| \le \sum_{i=1}^{n}\|x_i\|.$

② $x,y\in X$ とする. $|\|x\| - \|y\| |\le \|x - y\|.$

証明

①　 $\|x_1 + x_2 +\cdots+x_n\|$
$\le \|x_1\|+\|x_2 + \cdots +x_n\|$
というように, (N3) を $n-1$ 回繰り返せばよい.

②　 $x,y\in X$ とする.

$(N3)$ より,
$\|x\| = \|(x - y) + y \|$
$\le \|x - y\| + \|y\|.$

よって,
$\|x\| - \|y\| \le \|x - y\|$ . (※)

さらに, $(N3)$ より,
$\|y\| = \|(y - x) + x \|$
$\le \|y - x\| + \|x\|$
$= \|x - y\| + \|x\|.$

よって,
$\|x\| - \|y\| \ge - \|x - y\|.$

(※) と合わせて, $|\|x\| - \|y\| |\le \|x - y\|.$ 　□

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