ユークリッド空間は距離空間【証明付き】

ユークリッド空間は距離空間


\mathbb{R}^n 上の任意の元 x, y に対し、

x = (x_1, x_2, \cdots,x_n), y = (y_1, y_2,\cdots,y_n) とおく。

d_2 (x, y) = \sqrt{\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}|x_i - y_i|^2} で定める。

(\mathbb{R}^n, d_2)距離空間である。

証明

d_2距離の定義を満たしていることを確認していけばよい。

{}^{\forall}x,y,z \in \mathbb{R}^n をとる。x = (x_1, x_2,\cdots,x_n), y = (y_1, y_2\cdots,y_n), z = (z_1, z_2,\cdots,z_n) で表す。

(M1)

平方根の定義より, d_2(x, y) =  \sqrt{\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}|x_i - y_i|^2}\ge 0 である.

また,
d_2(x, y) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}|x_i - y_i|^2} = 0

\Leftrightarrow \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}|x_i - y_i|^2 = 0

\Leftrightarrow |x_i - y_i|^2 =0(1\le{}^{\forall}i\le n)

\Leftrightarrow x_i = y_i(1\le{}^{\forall}i\le n)

\Leftrightarrow (x_1,x_2,\cdots,x_n) = (y_1, y_2,\cdots,y_n)

\Leftrightarrow x = y .

以上より, d_2(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y .

(M2)

d_2(x, y) =  \sqrt{\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}|x_i - y_i|^2}

= \sqrt{\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}|y_i - x_i|^2}

= d_2(y, x)

以上より, d_2(x, y) = d_2(y, x)

(M3)
i =1,2,\cdots,n に対し、
z_i -x_i = a_i, y_i - z_i = b_i とおくと、
y_i - x_i = a_i + b_i である。

(d(x,z))^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^n(a_i + b_i)^2

=\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2 + 2\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i +\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2

\le\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2 + 2(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2)^{\frac{1}{2}} +\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2 (シュワルツの不等式より)

=((\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2)^{\frac{1}{2}} + (\displaystyle\sum_{i=1}^n b_i^2)^{\frac{1}{2}})^2

= (d(x,z) + d(z,y))^2

以上より, d_2(x, y) \le d_2(x, z) + d_2(z, y).

結論:(M1),(M2), (M3) を満たしたので, d_2 は \mathbb{R}^n 上の距離であり, (\mathbb{R}^n, d_2) は距離空間である.

豆知識
ユークリッド空間が距離空間の定義を満たすのは当たり前です。
なぜなら、今回導き出したこのユークリッド空間の性質から取り上げて抽象化してできたものが距離空間だからです。