n 次元ユークリット空間の定義とノルム空間であることの証明を紹介します。
n次元ユークリッド空間とは
は
線形空間であることに注意する.
:
を
で定める.
このとき, はノルム空間である.
そして, この空間をn次元ユークリット空間という。
がノルム空間であることを証明するためには,
がノルムの定義(ノルムの定義はこちら。)を満たしていることを確かめればよい.
(N1), (N2), (N3) の順に示していく.
(N1)
に対し,
で,
を示す.
をとる.
とかく.
このとき,
なので,
.
また,
よって (N1) は示された.
(N2)
,
に対し,
を示す.
,
をとる.
とかける.
このとき,
以上より, (N2) は示された.
(N3)
に対し,
を示す。
,
とかく.
は
より両辺ともに非負なので,
両辺を2乗した を示せばよい.
(
の定義より)
(シュワルツの不等式より)
. (
の定義より)
以上より, .
以上で, がノルムの定義を満たしていることわかった.
結論: はノルム空間である。