はさみうちの原理の証明【数列】

数列の「はさみうちの原理」。

直感的な理解から、論理的な理解へ

直感的に理解できることは大切です。しかし、その直感は本当に正しいでしょうか。

そう思ったとき、厳密に考えるための「道具」が必要になります。

ここでの「道具」は εーN論法(イプシロンーエヌ論法)です。

数列の「はさみうちの原理」

はさみうちの原理
\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n = \alpha

かつ a_n \le c_n \le b_n (n = 1,2,\cdots)

ならば、\lim_{n \to \infty}c_n = \alpha

証明

\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n = \alpha とする.

\epsilon > 0 とする. 収束の定義より,

{}^{\exists}N_1 \in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_1 \le n \Rightarrow |a_n - \alpha | < \epsilon

{}^{\exists}N_2 \in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_2 \le n \Rightarrow |b_n - \alpha | < \epsilon

N = \max\{N_1,N_2\}とおけば,

N \le n のとき,
\alpha - \epsilon < a_n < \alpha + \epsilon

\alpha - \epsilon < b_n < \alpha + \epsilon.

a_n \le c_n \le b_n ( {}^{\forall}n \in\mathbb{N})より,

\alpha - \epsilon < c_n < \alpha + \epsilon.

つまり,|c_n - \alpha | < \epsilon.

以上より,\lim_{n \to \infty}c_n =  \alpha.    □