開球って本当に開集合でしょうか?
開球は開集合
カイキくん
開球ってホントに「開」なの?
スウガくん
どういう意味だい?
カイキくん
開球って言ってるけどホントに開球は「開集合」なのかなって。
スウガくん
どうしたら納得する?(笑)
カイキくん
開集合の定義通りに示してくれたら、納得する(笑)
スウガくん
OK。じゃあ一緒に証明してみようか。
開球の定義
スウガくん
それじゃあまず開球の定義は覚えている?
カイキくん
覚えてるよ!これでしょ。
スウガくん
そうそう。いいね。じゃあ次、開集合の定義は?
カイキくん
・・・。なんだっけ?(笑)
スウガくん
(笑)。「距離空間上の開集合の定義と性質」で1回やっているね。もう一回確認しておこう!
開集合の定義
スウガくん
それじゃあ証明に入ろうか。
カイキくん
はーい
開球は開集合である
開球は開集合


証明
方針: が開集合であることを示すのだから、定義通りに,
を示せばよい。
スウガくん
(X,d)は一般の距離空間だけど,前に証明した距離空間
に置き換えて開球の図をかきながら証明を見ると理解しやすいよ。

※ 距離空間 の記事はこちら
証明:
をとる.
の定義より,
変形すると,
とおくと,
で,
である。
実際, とすると,
( 三角不等式より )
(
より )
(
より )
なので,
結論:開球 は
の開集合である。