数学 Math2018.08.14 2018.11.23 mather

開球は開集合【証明付き】

開球って本当に開集合でしょうか？

目次

1 開球は開集合
2 開球の定義
3 開集合の定義
4 開球は開集合である
- 4.1 証明

開球は開集合

カイキくん

開球ってホントに「開」なの？

スウガくん

どういう意味だい？

カイキくん

開球って言ってるけどホントに開球は「開集合」なのかなって。

スウガくん

どうしたら納得する？（笑）

カイキくん

開集合の定義通りに示してくれたら、納得する（笑）

スウガくん

OK。じゃあ一緒に証明してみようか。

開球の定義

スウガくん

それじゃあまず開球の定義は覚えている？

カイキくん

覚えてるよ！これでしょ。

開球の定義

$(X,d)$ を距離空間とする.
$x_0\in X, r > 0$ とする.
$S_r(x_0) = \{x\in X\ |\ d(x, x_0) < r\}$
と定義し, $S_r(x_0)$ を「 $x_0$ を中心とする半径 $r$ の開球」という。

スウガくん

そうそう。いいね。じゃあ次、開集合の定義は？

カイキくん

・・・。なんだっけ？（笑）

スウガくん

（笑）。「距離空間上の開集合の定義と性質」で１回やっているね。もう一回確認しておこう！

開集合の定義

開集合の定義

$( X, d )$ を距離空間とする。 $G \subset X$ とする。
${}^{\forall} x \in G , {}^{\exists}\epsilon > 0$ $,{}^{s.t.} S_{\epsilon}(x) \subset G$
が成立するとき、 $G$ は $X$ の開集合であるという。

スウガくん

それじゃあ証明に入ろうか。

カイキくん

はーい

開球は開集合である

開球は開集合

$S_r(x_0)$ は $X$ の開集合である.

証明

方針： $S_r(x_0)$ が開集合であることを示すのだから、定義通りに,

${}^{\forall}x\in S_r(x_0), {}^{\exists}\epsilon > 0,{}^{s.t.}S_{\epsilon}(x)\subset S_r(x_0)$ を示せばよい。

スウガくん

(X,d)は一般の距離空間だけど,前に証明した距離空間 $(\mathbb{R}^2,d_2)$ に置き換えて開球の図をかきながら証明を見ると理解しやすいよ。

※　距離空間 $(\mathbb{R}^2,d_2)$ の記事はこちら

証明：

${}^{\forall}x\in S_r (x_0)$ をとる.

$S_r (x_0)$ の定義より,

$d(x, x_0) < r.$

変形すると, $r - d(x, x_0) > 0.$

$\epsilon = r - d(x, x_0)$ とおくと,

$\epsilon > 0$ で, $S_{\epsilon}(x) \subset S_r(x_0)$ である。

実際, $y\in S_{\epsilon}(x)$ とすると,

$d(x_0 , y) \le d(x_0, x) + d(x, y)$ ( 三角不等式より )

$< d(x_0, x) + \epsilon$ ( $d(x,y) < \epsilon$ より )

$= r - \epsilon + \epsilon$ ( $\epsilon = r - d(x, x_0)$ より )

$= r$

なので, $y\in S_r(x_0).$

結論：開球 $S_r (x_0)$ は $X$ の開集合である。