開球って本当に開集合でしょうか?
開球は開集合
カイキくん
開球ってホントに「開」なの?
スウガくん
どういう意味だい?
カイキくん
開球って言ってるけどホントに開球は「開集合」なのかなって。
スウガくん
どうしたら納得する?(笑)
カイキくん
開集合の定義通りに示してくれたら、納得する(笑)
スウガくん
OK。じゃあ一緒に証明してみようか。
開球の定義
スウガくん
それじゃあまず開球の定義は覚えている?
カイキくん
覚えてるよ!これでしょ。
[box class="blue_box" title="開球の定義"]
![Rendered by QuickLaTeX.com (X,d)](https://kaikiblog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f9d6da6dee04a6c57cd3c29e130e1e9_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0\in X, r > 0](https://kaikiblog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b12ee521c21f09ba207cbf63b1bd6e4_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com S_r(x_0) = \{x\in X\ |\ d(x, x_0) < r\}](https://kaikiblog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3442df4bb62996b07fdfbbd7b3d76a1_l3.png)
と定義し,
![Rendered by QuickLaTeX.com S_r(x_0)](https://kaikiblog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0e4354d2efc4d26b88c75ae60022d285_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com x_0](https://kaikiblog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87f2a80bc63f8d7bc3df68c45a787402_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com r](https://kaikiblog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c409433a9e2dfcdb83360a974d243f18_l3.png)
スウガくん
そうそう。いいね。じゃあ次、開集合の定義は?
カイキくん
・・・。なんだっけ?(笑)
スウガくん
(笑)。「距離空間上の開集合の定義と性質」で1回やっているね。もう一回確認しておこう!
開集合の定義
[box class="blue_box" title="開集合の定義"] を距離空間とする。
とする。
が成立するとき、 は
の開集合であるという。[/box]
スウガくん
それじゃあ証明に入ろうか。
カイキくん
はーい
開球は開集合である
は
の開集合である.
証明
方針: が開集合であることを示すのだから、定義通りに,
を示せばよい。
スウガくん
(X,d)は一般の距離空間だけど,前に証明した距離空間
に置き換えて開球の図をかきながら証明を見ると理解しやすいよ。
![Rendered by QuickLaTeX.com (\mathbb{R}^2,d_2)](https://kaikiblog.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-835d6cfcb316e2931135137daeaff89d_l3.png)
※ 距離空間 の記事はこちら
証明:
をとる.
の定義より,
変形すると,
とおくと,
で,
である。
実際, とすると,
( 三角不等式より )
(
より )
(
より )
なので,
結論:開球 は
の開集合である。