任意の正の数 ε で抑えられるとき

「イプシロンは任意なので・・=0.」
というように数学の本にかいてあることがありませんか?

「なんでイプシロンが任意だとそうなるの?」

そう悩むあなたへ、行間の論理を伝えるよ!

注意
「イプシロンは任意なので」という表現があるときに
必ずこういう論理が通るとは限りません。証明の流れをみて判断してみてくださいね!

問題

問題
{}^{\forall}\epsilon > 0 に対して, 0 \le a < \epsilon とする。

このとき, a = 0 であることを示せ。

解答

解1:背理法を用いる。

a \neq 0 と仮定する。

0 < a であるから実数の稠密性より,

0 < \epsilon_0 < a となる \epsilon_0 > 0 が存在する。

これは, a < \epsilon ( {}^{\forall}\epsilon > 0 ) に矛盾する。

したがって, a = 0.

解2:「数列の性質」を用いる。

\frac{1}{n} > 0 (n=1,2,\cdots,n) に対して,仮定より

0 \le a < \frac{1}{n}.

\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0 なので

数列の性質」より, a \le 0 である.

0 \le a と合わせて, a = 0.