線形空間 ( ベクトル空間 )

ベクトル空間の定義と基本的な性質の証明の紹介。

線形空間(ベクトル空間)の定義

線形空間

$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$ とする. 集合 $X$ の元に対し,

和： $x + y \in X\ (x, y\in X)$ ,
スカラー倍： $\alpha x\in X\ (\alpha\in\mathbb{K}, x\in X)$

が定まり, 以下の8つの条件を満たすとき, $X$ を $(\mathbb{K}-)$ 線形空間という。
また, $\mathbb{K}$ を線形空間 $X$ の係数体という.

$(L1)$ $(x + y) + z = x + (y + z) ( {}^{\forall}x, y, z\in X )$

$(L2)$ $x + y = y + x ( {}^{\forall}x,y\in X )$

$(L3)$ $X$ の元 $o$ が存在して, $x + o = o + x = x ({}^{\forall}x\in X).$
この元 $o$ をゼロベクトルという.

$(L4)$ $X$ の任意の元 $x$ に対して,
$x + x' = x' + x = o$ となる $X$ の元 $x'$ が存在する.
この元 $x'$ を $x$ の逆ベクトルといい, $-x$ とかく. : $x' = -x.$

$(L5)$ $\lambda (x + y) = \lambda x +\lambda y ({}^{\forall}\lambda\in\mathbb{K}, {}^{\forall}x, y\in X)$

$(L6)$ $(\lambda + \mu)x = \lambda x +\lambda x ({}^{\forall}\lambda, \mu \in\mathbb{K}, {}^{\forall}x \in X)$

$(L7)$ $(\lambda \mu)x = \lambda (\mu x) ({}^{\forall}\lambda, \mu \in\mathbb{K}, {}^{\forall}x \in X)$

$(L8)$ $1x = x ({}^{\forall}x\in X).$

線形空間の簡単な性質

$X$ を $\mathbb{K}-$ 線形空間とする。

① ゼロベクトル $o$ はただ１つに限り存在する.

② $0 x = o ({}^{\forall}x\in X)$ が成立する.

証明

①
$o$ をゼロベクトルとする.
背理法で示す.
$o \neq o'$ となるゼロベクトル $o'$ が存在するとする.
$o'\in X$ で $o$ はゼロベクトルだから, $(L3)$ より,
$o' + o = o'.$ (※１)
一方で $o\in X$ で $o'$ もゼロベクトルだから, $(L3)$ より,
$o' + o = o.$ (※２)

(※１) と(※２)を合わせて, $o' = o.$
これは, $o \neq o'$ に矛盾する.

よって, $o \neq o'$ となるゼロベクトル $o'$ は存在しない.
すなわち, ゼロベクトル $o$ はただ１つに限り存在する.

②
$x\in X$ とする. スカラー倍で閉じているから, $0 x \in X$ であることに注意する.

$0 x \in X$ と $(L4)$ より, $0x+ (-0x) = o$ となる $0x$ の逆元 $-0x$ が存在する.

つまり, $o = 0x + (-0x)$ .

さらに,
$0x + (-0x)$ $= (0 + 0)x + (-0x)$ ( $\mathbb{K}$ 上で $0 = 0+0$ より )
$= (0x + 0x) + (-0x)$ ( $(L6)$ より )
$= 0x +(0x + (-0x))$ ( $(L1)$ より )
$= 0x + o$ ( $(L4)$ より )
$=0x$ ( $(L3)$ より ).

以上より, $0x = o ({}^{\forall}x\in X)$ . □