数列の収束と積

収束する数列と積の関係を紹介します。

数列の収束と積

2つの収束する数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\{b_n\}_{n=1}^{\infty}があるとき、この2つの積からなる数列\{a_n b_n\}_{n=1}^{\infty}はどこに収束するだろうか?

\mathbb{R}上では、a_n \to a (n\to\infty) , b_n \to b (n\to\infty)のとき、

a_n b_n \to ab  (n\to\infty) が成立することが分かっています。

つまり、\{a_n b_n\}_{n=1}^{\infty}\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\{b_n\}_{n=1}^{\infty}の極限の積に収束するということです。

性質

\mathbb{R}において、実数列 \{a_n\}_{n=1}^{\infty} と \{b_n\}_{n=1}^{\infty} が

a_n \to a (n\to\infty)  , b_n \to b (n\to\infty) を満たすとき、

a_n b_n \to ab  (n\to\infty).

証明

収束する数列は有界だから、有界の定義より、

{}^{\exists}M > 0,{}^{s.t.}|a_n| \le M ({}^{\forall}n\in\mathbb{N}) が成り立つ。

ここで、b\in\mathbb{R}について、場合分けをしてそれぞれについて証明していく。

(i)|b|\neq 0

(ii)|b|=0  の2通りに分ける。

まず、 (i) |b|\neq 0 の場合を考える。

任意の正の数\epsilonをとる。

a_n \to a (n \to \infty)より、
{}^{\exists}N_1\in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_1 \le n \Rightarrow |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2|b|}.

b_n \to b (n \to \infty)より、
{}^{\exists}N_2\in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_2 \le n \Rightarrow |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2M}.

N = max\{N_1,N_2\}とおく。

N \le nのとき、

|a_n b_n - ab| = |a_n b_n - a_n b +a_n b - ab|

\le |a_n||b_n - b| + |a_n - a||b|

\le M|b_n - b| + |a_n - a||b|

\le M\frac{\epsilon}{2M} + |b|\frac{\epsilon}{2|b|}

=\frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}

= \epsilon.

ゆえに、|a_n b_n - ab| \le \epsilon.

次に、 (ii) |b|= 0 の場合を考える。

|b| = 0 \Leftrightarrow b = 0」に注意する。

任意の正の数\epsilonをとる。

b_n \to b (n \to \infty)より、
{}^{\exists}N_3\in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_3 \le n \Rightarrow |b_n - b| < \frac{\epsilon}{M}.

N_3 \le n のとき

|a_n b_n - ab| =|a_n b_n|

=|a_n||b_n - b|

\le M |b_n - b|

< M\frac{\epsilon}{M}

=\epsilon.

ゆえに、|a_n b_n - ab| \le \epsilon.

(i),(ii)より、題意は示された。 □