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[a,b] 上実数値連続関数全体の集合 C[a,b] 距離空間【証明付き】

2021年7月5日

[a,b] 上実数値連続関数全体の集合 C[a,b] は距離空間です。
その証明を一緒に見ていきましょう！

[a,b] 上実数値連続関数全体の集合 C[a,b]

$C[a,b]$ を閉区間 $[a,b]$ 上の実数値連続関数全体の集合とする。

$f,g\in C([a,b])$ に対し,

$d(f,g) =\displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)|$

と定めると, $(C[a,b],d)$ は距離空間となる。

距離空間の定義はこちら「距離空間の定義と例」

証明

方針：

$(C[a,b],d)$ が距離空間であることを示せばよいので, d が距離の定義を満たしていることを示せばよい。
$(M1),(M2),(M3)$ の順に示す。

証明：

$f,g,h\in C([a,b])$ とする。

$(M1)$

$d(f,g) = \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)|$

$\ge 0$ .

$d(f,g) = 0 \Leftrightarrow \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)| = 0$

$\Leftrightarrow |f(x) - g(x)| \le 0$ ( ${}^{\forall}x\in[a,b])$ ( $\max$ の定義より)

$\Leftrightarrow　f(x) = g(x) ({}^{\forall}x\in[a,b])$

$\Leftrightarrow f = g .$

$(M2)$

$d(f,g) = \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)|$

$= \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|g(x) - f(x)|$

$=d(g,f)$ .

$(M3)$

${}^{\forall}x \in [a,b]$ をとる。

$|f(x) - g(x)| = |f(x) - h(x) + h(x) - g(x)|$

$\le |f(x) - h(x)| + |h(x) - g(x)|$

$\le \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - h(x)| + \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|h(x) - g(x)|.$

よって, $\displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - h(x)| + \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|h(x) - g(x)|$ は

$\{|f(x) - g(x)| | x\in[a,b]\}$ の上界である。

最大元 $\displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)|$ は

$\{|f(x) - g(x)| | x\in[a,b]\}$ の要素なので, 上界の定義より,

$\displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)|$ $\le \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - h(x)| + \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|h(x) - g(x)|$ .

すなわち,

$d(f,g) \le d(f,h) + d(h,g).$

結論：

$(C[a,b],d)$ は距離空間である。

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