[a,b] 上実数値連続関数全体の集合 C[a,b] は距離空間です。
その証明を一緒に見ていきましょう!
[a,b] 上実数値連続関数全体の集合 C[a,b]
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に対し,
と定めると, は距離空間となる。
距離空間の定義はこちら「距離空間の定義と例」
証明
方針:
が距離空間であることを示せばよいので, d が距離の定義を満たしていることを示せばよい。
の順に示す。
証明:
とする。
.
(
(
の定義より)
.
をとる。
よって, は
の上界である。
最大元は
の要素なので, 上界の定義より,
.
すなわち,
結論:
は距離空間である。