シュワルツ（コーシー・シュワルツ）の不等式

2021年7月5日

「ワルツをマスターしたい」
シュワルツの不等式とカイキくん。

シュワルツの不等式とカイキくん

カイキくん

ワルツをマスターしたい。

スウガくん

ダンスでも踊るのかな？

シュワルツの不等式

$a_i, b_i\ ( i = 1, \cdots, n )$ を実数とする. このとき,

$(\ \sum_{i =1}^n a_i b_i\ )^2 \le (\ \sum_{i =1}^n a_i^2\ ) (\ \sum_{i =1}^n b_i^2\ )$

スウガくん

　Σがない形で書いてみよう！理解が深まるかも！

Σがない形で不等式の部分をかくと,

$(\ a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n\ )^2$ $\le (a_1^2 +a_2^2 +\cdots +a_n^2\ )(\ b_1^2 +b_2^2 + \cdots +b_n^2)$

になるよ。

証明

$a_i, b_i\ ( i = 1, \cdots, n )$ を実数とし, $t \in \mathbb{R}$ とする.

各 $i = 1,2,\cdots,n$ に対して, $(t a_i + b_i)^2 \ge 0$ より、

$\sum_{i =1}^n (t a_i + b_i)^2 \ge 0.$ 　　　(※)

さらに,

$\sum_{i =1}^n (t a_i + b_i)^2$
$=\sum_{i =1}^n (t^2 a_i^2 + 2 t a_i b_i + b_i^2 )$
$=(\displaystyle\sum_{i =1}^n a_i^2)t^2+2(\sum_{i=1}^{n}a_i b_i)t+\sum_{i=1}^n b_i^2.$

これを $t$ に関する 2 次関数とみると, 下に凸なグラフでかける.

また (※) より, グラフは $t$ 軸と共有点を持たないかまたは接している.

すなわちこれは, 判別式 $D \le 0$ の場合である.

よって,

$\{2(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i b_i)\}^2-4(\sum_{i=1}^n a_i^2)(\sum_{i=1}^n b_i^2 )\le 0$ .

さらに, 4で割って, 移項すると

$(\sum_{i =1}^n a_i b_i)^2 \le (\sum_{i =1}^n a_i^2) (\sum_{i =1}^n b_i^2)$ .　　□