平面上の開集合の表現
問.






証明
を
の開集合とする.
のすべての有理点を
とし,
またすべての正の有理数をとする.
とおく.
とおく.
をとる.
は開集合なので、開集合の定義より
.
すべての有理点は
で稠密なので,
となる
が存在.
また,となる
が存在.
だから,
ゆえに,.
に含まれる
は存在する.
に含まれる
全体を
と表せば,
逆の包含関係は明らかなので.
をとる.
.
ゆえに.
を
の開集合とする.
のすべての有理点を
とし,
またすべての正の有理数をとする.
とおく.
とおく.
をとる.
は開集合なので、開集合の定義より
.
すべての有理点は
で稠密なので,
となる
が存在.
また,となる
が存在.
だから,
ゆえに,.
に含まれる
は存在する.
に含まれる
全体を
と表せば,
逆の包含関係は明らかなので.
をとる.
.
ゆえに.