数学 Math2018.07.20 2018.11.23 mather

平面上の開集合の表現

目次

1 平面上の開集合の表現
2 証明

平面上の開集合の表現

問.

$I_1,I_2$ を開区間とする. $R=I_1\times I_2$ とおく. $\mathbb{R}^{2}$ 内の任意の開集合 $V$ はこの $R$ のような形をした $R_i$ の可算個の和集合で表される。

証明

$A$ を $\mathbb{R}^2$ の開集合とする.

$\mathbb{R}^2$ のすべての有理点を $\mathbb{Q}^2=\{x_1,x_2.\cdots\}$ とし,

またすべての正の有理数を $\{r_1,r_2,\cdots\}$ とする.

$x_n=(x_n^1,x_n^2)$ とおく.

$Q(x_n,r_m)=(x_n^1-r_m,x_n^1+r_m)\times(x_n^2-r_m,x_n^2+r_m)$ とおく.

${}^{\forall}k\in A$ をとる. $A$ は開集合なので、開集合の定義より

${}^{\exists}\delta > 0,{}^{s.t.}S(k,\delta)\subset A$ .

すべての有理点 $\mathbb{Q}^2$ は $\mathbb{R}^2$ で稠密なので,

$x_n\in S(k,\frac{\delta}{3})$ となる $x_n\in\mathbb{Q}^2$ が存在.

また, $\frac{\delta}{3} < r_m < \frac{\sqrt{2}}{3}\delta$ となる $r_m\in\mathbb{Q}\cap[0,\infty]$ が存在.

$d(k,x_n) < \frac{\delta}{3}$ だから,

$\begin{eqnarray*} k &\in& S(x_n,\frac{\delta}{3})\\ &\subset& S(x_n,r_m)\\ &\subset& Q(x_n,r_m)\\ &\subset& S(x_n,\sqrt{2}r_m)\\ &\subset& S(x_n,\frac{2}{3}\delta)\\ &\subset& S(k,\delta)\ \ \ \ \ (*)\\ &\subset& A \end{eqnarray*}$

ゆえに, $k\in Q(x_n,r_m)\subset A$ .

$A$ に含まれる $Q(x_n,r_m)$ は存在する.

$A$ に含まれる $Q(x_n,r_m)$ 全体を

$\{R_1,R_2,\cdots\}$ と表せば,

$A\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}R_i.$

逆の包含関係は明らかなので $A=\bigcup_{i=1}^{\infty}R_i$ .

$(*)$ ${}^{\forall}y\in S(x_n,\frac{2}{3}\delta)$ をとる.

$d(y,k)\le d(y,x_n)+d(x_n,k)<\frac{2}{3}\delta+\frac{\delta}{3}=\delta$ .

ゆえに $y\in S(k,\delta)$ .