平面上の開集合の表現

平面上の開集合の表現

問.
I_1,I_2を開区間とする.R=I_1\times I_2とおく.\mathbb{R}^{2}内の任意の開集合VはこのRのような形をしたR_iの可算個の和集合で表される。

証明

A\mathbb{R}^2開集合とする.

\mathbb{R}^2のすべての有理点を\mathbb{Q}^2=\{x_1,x_2.\cdots\}とし,

またすべての正の有理数を\{r_1,r_2,\cdots\}とする.

x_n=(x_n^1,x_n^2)とおく.

Q(x_n,r_m)=(x_n^1-r_m,x_n^1+r_m)\times(x_n^2-r_m,x_n^2+r_m)とおく.

{}^{\forall}k\in Aをとる.Aは開集合なので、開集合の定義より

{}^{\exists}\delta > 0,{}^{s.t.}S(k,\delta)\subset A.

すべての有理点\mathbb{Q}^2\mathbb{R}^2で稠密なので,

x_n\in S(k,\frac{\delta}{3})となるx_n\in\mathbb{Q}^2が存在.

また,\frac{\delta}{3} < r_m < \frac{\sqrt{2}}{3}\deltaとなるr_m\in\mathbb{Q}\cap[0,\infty]が存在.

d(k,x_n) < \frac{\delta}{3}だから,

    \begin{eqnarray*} k &\in& S(x_n,\frac{\delta}{3})\\ &\subset& S(x_n,r_m)\\ &\subset& Q(x_n,r_m)\\ &\subset& S(x_n,\sqrt{2}r_m)\\ &\subset& S(x_n,\frac{2}{3}\delta)\\ &\subset& S(k,\delta)\ \ \ \ \ (*)\\ &\subset& A \end{eqnarray*}

ゆえに,k\in Q(x_n,r_m)\subset A.

Aに含まれるQ(x_n,r_m)は存在する.

Aに含まれるQ(x_n,r_m)全体を

\{R_1,R_2,\cdots\}と表せば,

A\subset\bigcup_{i=1}^{\infty}R_i.

逆の包含関係は明らかなのでA=\bigcup_{i=1}^{\infty}R_i.


(*){}^{\forall}y\in S(x_n,\frac{2}{3}\delta)をとる.

d(y,k)\le d(y,x_n)+d(x_n,k)<\frac{2}{3}\delta+\frac{\delta}{3}=\delta.

ゆえにy\in S(k,\delta).