この記事では、開被覆、コンパクトの定義を確認し、有限集合はコンパクトであるということを示します。
定義(開被覆)
定義 ( 開被覆 )

に対して,
かつ
を満たす集合族 を
の開被覆であるという。
定義 ( コンパクト)
定義(コンパクト)



K の任意の開被覆 に対し,
その中の適当な有限個 を選んで,
とできるとき,
は コンパクトであるという。
有限集合はコンパクトである。( コンパクト集合の例 )
コンパクト集合の例1

の有限集合はコンパクトであることを示せ。
解:
内の有限集合を,
で表す。
とおく。
を
を満たす開集合族とする。
より,
各 に対して,
.
よって, .
したがって, はコンパクトである。
結論:
位相空間の有限集合はコンパクトである.