有限集合はコンパクト【開被覆の定義】

この記事では、開被覆、コンパクトの定義を確認し、有限集合はコンパクトであるということを示します。

定義(開被覆)

定義 ( 開被覆 )
(X,\mathbb{G}) を位相空間とする。

K\subset X に対して,

O_{\lambda}\in \mathbb{G}\ (\ \lambda\in\Lambda\ ) かつ K\subset \displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}

を満たす集合族 \{O_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda} K の開被覆であるという。

定義 ( コンパクト)

定義(コンパクト)
(X,\mathbb{G}) を位相空間とし, KX の部分集合とする。

K の任意の開被覆 \{O_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda} に対し,

その中の適当な有限個 O_{\lambda_1},O_{\lambda_2},\cdots,O_{\lambda_n} を選んで,

K\subset\displaystyle\bigcup_{i = 1}^n O_{\lambda_i} とできるとき,

Kコンパクトであるという。

有限集合はコンパクトである。( コンパクト集合の例 )

コンパクト集合の例1
(X,\mathbb{G}) を位相空間とする。

X の有限集合はコンパクトであることを示せ。

X 内の有限集合を,\{x_1, x_2,\cdots,x_n\} で表す。

K = \{x_1, x_2,\cdots,x_n\} とおく。

\{O_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}K \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda} を満たす開集合族とする。

\{x_1, x_2,\cdots,x_n\}\subset\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda} より,

x_i (i = 1,2,\cdots,n) に対して,

{}^{\exists}\lambda_{i}\in \Lambda, {}^{s.t.} x_i \in O_{\lambda_i}.

よって, \{x_1, x_2,\cdots,x_n\}\subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^n O_{\lambda_i}.

したがって, \{x_1, x_2,\cdots,x_n\} はコンパクトである。

結論

位相空間の有限集合はコンパクトである.