順序関係と順序集合、最大元、極大元、上限

定義(順序関係と順序集合)

定義(順序関係と順序集合)
X ( \neq \varnothing ) を集合とする。

X \ni {}^{\forall}x, y に対し, x \le yx \nleq y が定まっていて

以下の (i)\sim(iii) の3つの条件を満たすとき、\le順序関係という。

(i) x \le x

(ii)x \le y\ かつ\ y \le x\Rightarrow x = y.

(iii)x \le y かつ y \le z\Rightarrow x \le z.

また、順序関係を与えられた集合 X順序集合といい、(X,\le) または X で表す。

定義(最大元、極大元、上限)

定義(最大元、極大元、上限)

(X, \le) を順序集合とし、AX の部分集合とする。

(1)
x_0 \in XA最大元であるとは、

x_0\in A で、x_0 \ge a ({}^{\forall}a\in A)

が成立することをいい、この最大元 x_0\max A で表す。

(2)
x_0 \in XA極大元であるとは、

x_0\in A で、

a\in A かつ x_0 \le a\Rightarrow x_0 = a

が成立することをいう。

(3)
x_0 \in XA上限であるとは、

x_0 = \min\ U(A),

U(A) = \{x\in X \mid a \le x ({}^{\forall}a\in A)\}

が成立することをいい、この上限 x_0\sup A で表す。

例題(最大元は上限、最大元は存在しても1つ)

例題
一般に最大元は上限であることと、最大元は存在しても一つであることを示せ。

解答例:

最大元は上限である

(Y,\le) を順序集合とし、BY の部分集合とする。

M = \max B が存在すると仮定する。

b \le M ({}^{\forall}b\in B) より, MB の上界である。

すなわち、M \in U(B) (\neq \varnothing).

{}^{\forall}y \in U(B) をとると、

b \le y\ ({}^{\forall}b\in B)

ここで、MB の元でもあるから、M \le y

ゆえに、黄色の下線 より M = \min U(B) = \sup B.

したがって、最大元は上限である。

最大元は存在しても1つ

背理法を用いる。

仮に M とは異なる B の最大元が存在したとする。これを M' とおく。

(i) M = \max B より、b \le M ({}^{\forall}b \in B)

このとき、M' \in B だから、M' \le M.

(ii) M' = max B より、b \le M' ({}^{\forall}b \in B)

このとき、M \in B だから、M \le M'.

(i),(ii) より、M = M'. これは仮定に矛盾。

したがって、最大元は存在する場合、一意的に存在する。