内部と開集合の定義と性質

2021年7月5日

この記事では、内部の定義、内部に関する初歩的な性質について学べます。

内部とは

$O \subset \mathbb{R}^n$ とする。 $a\in\mathbb{R}^n$ に対して,

${}^{\exists}r > 0\ ,\ {}^{s.t.} S_r(a)\subset O$

が成立するとき, $a$ を $O$ の内点という。

$O$ の内点全体の集合を $O$ の内部または $O$ の開核といい,
$Int\ O$ で表す。

（注）ここで, $S_r(a)$ は中心 $a$ , 半径 $r$ の開球を表している。

$\mathbb{R}^n$ の部分集合 $O$ が $Int\ O = O$ を満たすとき,

$O$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合であることを示せ。

$O$ が開集合の定義を満たすかどうか調べる。

${}^{\forall}x\in O$ をとる。

$Int\ O = O$ より, $x\in Int\ O.$

$Int\ O$ は $O$ の内部であるから,

$S_r(x) \subset Int\ O$ となる $r > 0$ が存在する。

よって, $S_r(x) \subset O$ .

$\mathbb{R}^n$ の部分集合 $O$ が $Int\ O = O$ を満たすとき,

$O$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合である。