内部と開集合の定義と性質

この記事では、内部の定義、内部に関する初歩的な性質について学べます。

内部とは

定義 ( 内点, 内部 )
O \subset \mathbb{R}^n とする。a\in\mathbb{R}^n に対して,

{}^{\exists}r > 0\ ,\ {}^{s.t.} S_r(a)\subset O

が成立するとき, a O の内点という。

O の内点全体の集合を O の内部またはO開核といい,
Int\ O で表す。

(注)ここで, S_r(a) は中心 a , 半径 r の開球を表している。

内部に関する初歩的な問題

問題
\mathbb{R}^n の部分集合 OInt\ O = O を満たすとき,

O\mathbb{R}^n の開集合であることを示せ。

方針

O開集合の定義を満たすかどうか調べる。

{}^{\forall}x\in O をとる。

Int\ O = O より, x\in Int\ O.

Int\ OO の内部であるから,

S_r(x) \subset Int\ O となる r > 0 が存在する。

よって, S_r(x) \subset O.

結論

\mathbb{R}^n の部分集合 OInt\ O = O を満たすとき,

O\mathbb{R}^n の開集合である。