数列の収束と積

収束する数列と積の関係を紹介します。

数列の収束と積

２つの収束する数列 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ と $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ があるとき、この２つの積からなる数列 $\{a_n b_n\}_{n=1}^{\infty}$ はどこに収束するだろうか？

$\mathbb{R}$ 上では、 $a_n \to a (n\to\infty) , b_n \to b (n\to\infty)$ のとき、

$a_n b_n \to ab　 (n\to\infty)$ 　が成立することが分かっています。

つまり、 $\{a_n b_n\}_{n=1}^{\infty}$ は $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ と $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ の極限の積に収束するということです。

性質

$\mathbb{R}$ において、実数列　 $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ 　と　 $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}$ 　が

$a_n \to a (n\to\infty) 　, b_n \to b (n\to\infty)$ 　を満たすとき、

$a_n b_n \to ab　 (n\to\infty)$ .

証明

収束する数列は有界だから、有界の定義より、

${}^{\exists}M > 0,{}^{s.t.}|a_n| \le M ({}^{\forall}n\in\mathbb{N})$ 　が成り立つ。

ここで、 $b\in\mathbb{R}$ について、場合分けをしてそれぞれについて証明していく。

(i) $|b|\neq 0$

(ii) $|b|=0$ 　の2通りに分ける。

まず、　(i)　 $|b|\neq 0$ 　の場合を考える。

任意の正の数 $\epsilon$ をとる。

$a_n \to a (n \to \infty)$ より、
${}^{\exists}N_1\in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_1 \le n \Rightarrow |a_n - a| < \frac{\epsilon}{2|b|}$ .

$b_n \to b (n \to \infty)$ より、
${}^{\exists}N_2\in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_2 \le n \Rightarrow |b_n - b| < \frac{\epsilon}{2M}$ .

$N = max\{N_1,N_2\}$ とおく。

$N \le n$ のとき、

$|a_n b_n - ab| = |a_n b_n - a_n b +a_n b - ab|$

$\le |a_n||b_n - b| + |a_n - a||b|$

$\le M|b_n - b| + |a_n - a||b|$

$\le M\frac{\epsilon}{2M} + |b|\frac{\epsilon}{2|b|}$

$=\frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}$

$= \epsilon$ .

ゆえに、 $|a_n b_n - ab| \le \epsilon.$

次に、　(ii)　 $|b|= 0$ 　の場合を考える。

「 $|b| = 0 \Leftrightarrow b = 0$ 」に注意する。

任意の正の数 $\epsilon$ をとる。

$b_n \to b (n \to \infty)$ より、
${}^{\exists}N_3\in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_3 \le n \Rightarrow |b_n - b| < \frac{\epsilon}{M}$ .

$N_3 \le n$ 　のとき

$|a_n b_n - ab| =|a_n b_n|$

$=|a_n||b_n - b|$

$\le M |b_n - b|$

$< M\frac{\epsilon}{M}$

$=\epsilon$ .

ゆえに、 $|a_n b_n - ab| \le \epsilon.$

(i),(ii)より、題意は示された。　□

数列の収束と積

数列の収束と積

性質

証明

まず、 (i) の場合を考える。

次に、 (ii) の場合を考える。

まず、　(i)　 $|b|\neq 0$ 　の場合を考える。

次に、　(ii)　 $|b|= 0$ 　の場合を考える。