数学 Math2018.08.02 2018.11.23 mather

収束列はコーシー列【ノルム空間】

目次

1 収束列の定義
2 コーシー列の定義
3 ノルム空間上の収束列はコーシー列
- 3.1 証明

収束列の定義

収束列

$(X,||\cdot||)$ をノルム空間とし、 $\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}$ を $X$ 内の点列とする。
${}^{\forall} \epsilon > 0 , {}^{\exists}N \in \mathbb{N}$ $,{}^{s.t.}N \le n, \Rightarrow ||x_n -x || \le \epsilon$
を満たす $x \in X$ が存在するとき、 $\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}$ は収束列であるという。
また、この $x$ を $\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}$ の極限という。

コーシー列の定義

コーシー列

$(X,||\cdot||)$ をノルム空間とし、 $\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}$ を $X$ 内の点列とする。
${}^{\forall} \epsilon > 0 , {}^{\exists}N \in \mathbb{N}$ $,{}^{s.t.}N \le n, m \Rightarrow ||x_n -x_m || \le \epsilon$
が成立するとき、 $\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}$ はコーシー列であるという

ノルム空間上の収束列はコーシー列

$X$ をノルム空間, $\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}$ を $X$ 内の点列とする。このとき、 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ が収束列ならば、この数列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ はコーシー列である。

証明

$(X,||\cdot||)$ をノルム空間とし、 $\{x_n\}$ を $X$ 内の点列で収束列とする。

$\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ の極限を $x\in X$ とおく。 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ は収束するので、

${}^{\forall}\epsilon > 0 ,{}^{\exists}N\in\mathbb{N}$ $,{}^{s.t.}N \le n \Rightarrow ||x_n -x || \le \frac{\epsilon}{2}$ .

$N \le n, m$ のとき、

$||x_n - x_m||$ $= ||x_n - x + x - x_m||$

$\le ||x_n - x|| + ||x - x_m||$

$=||x_n - x|| + ||x_m - x||$

$\le$ $\frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}$

$=$ $\epsilon$ .

よって、 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ はコーシー列である。□

青色の字だけを見ると、コーシ列の定義を満たしていることが分かりますね。

自分で勉強するときも、このように結論の根拠となる部分に目印をつけておくと、

見返したとき証明の全体像が見えやすくなるのでおすすめです。ぜひやってみてください。