収束列はコーシー列【ノルム空間】

収束列の定義

収束列
(X,||\cdot||)をノルム空間とし、\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}X 内の点列とする。
{}^{\forall} \epsilon > 0 , {}^{\exists}N \in \mathbb{N} ,{}^{s.t.}N \le n, \Rightarrow ||x_n -x || \le \epsilon
を満たすx \in Xが存在するとき、 \{x_n\}_{n = 1}^{\infty} は収束列であるという。
また、この x\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}の極限という。

コーシー列の定義

コーシー列
(X,||\cdot||)をノルム空間とし、\{x_n\}_{n = 1}^{\infty}X 内の点列とする。
{}^{\forall} \epsilon > 0 , {}^{\exists}N \in \mathbb{N} ,{}^{s.t.}N \le n, m \Rightarrow ||x_n -x_m || \le \epsilon
が成立するとき、 \{x_n\}_{n = 1}^{\infty} はコーシー列であるという

ノルム空間上の収束列はコーシー列

X をノルム空間,  \{x_n\}_{n = 1}^{\infty}X 内の点列とする。このとき、\{x_n\}_{n=1}^{\infty} が収束列ならば、この数列 \{x_n\}_{n=1}^{\infty} はコーシー列である。

証明

(X,||\cdot||) をノルム空間とし、\{x_n\}X 内の点列で収束列とする。

\{x_n\}_{n=1}^{\infty} の極限を x\in X とおく。\{x_n\}_{n=1}^{\infty} は収束するので、

{}^{\forall}\epsilon > 0 ,{}^{\exists}N\in\mathbb{N},{}^{s.t.}N \le n \Rightarrow ||x_n -x || \le \frac{\epsilon}{2}.

N \le n, m のとき

||x_n - x_m|| = ||x_n - x + x - x_m||

\le ||x_n - x|| + ||x - x_m||

=||x_n - x|| + ||x_m - x||

\le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}

= \epsilon.

よって、\{x_n\}_{n=1}^{\infty} はコーシー列である。□

青色の字だけを見ると、コーシ列の定義を満たしていることが分かりますね。

自分で勉強するときも、このように結論の根拠となる部分に目印をつけておくと、

見返したとき証明の全体像が見えやすくなるのでおすすめです。ぜひやってみてください。