開集合の定義と性質【距離空間】

開集合ってなーに?


カイキくん
おはよー
スウガくん
もうお昼だよ(笑)
カイキくん
まぶしい…

カイキくんは朝が苦手だ。

スウガくん
また、夜遅くまでおきてたのかい?
カイキくん
うん!でも昨日は遊んでたわけじゃないよ。数学の勉強をしてたんだ。距離空間の勉強!
スウガくん
へえ。えらいね。
カイキくん
えへへ。それで、わからないところがあって。。

カイキくんは勉強したことでわからないことがあるとこうやって次の日に質問に来る。

スウガくん
ん?
カイキくん
開集合ってなーに?

 

開集合の定義

開集合の定義
( X, d ) を距離空間とする。G \subset X とする。
{}^{\forall} x \in G , {}^{\exists}\epsilon > 0 ,{}^{s.t.} S(x,\epsilon) \subset G
が成立するとき、  GはXの開集合であるという。

ここで、S(x,\epsilon)S(x,\epsilon) = \{y \in X\ |\ d(x,y) < \epsilon\} で定義しているよ。

スウガくん
S(x,\epsilon)「x の \epsilon 近傍 ( イプシロンきんぼう )」と呼ばれたりするね。
カイキくん
あっ。それなら昨日書いたよ。これ。

 

\mathbb{R}^2 上の任意の元 x, y に対して、

x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2) とおいて、

距離を d (x, y) = \sqrt{|x_1 - y_1|^2 + |x_2 - y_2|^2} で定めたときの

距離空間 (\mathbb{R}^2, d) 上での S(x, \epsilon) だね!

カイキくん
  (\mathbb{R}^2,d)って大事なの?
スウガくん
大事だよ。距離 d の定義の仕方や、全体集合 X によって S(x,r) の形や要素は変わってくるんだ。
カイキくん
ほーー。
スウガくん
他の距離空間でも S(x,\epsilon) を書いてみるといいよ。
カイキくん
わかった。やってくる!

 

開集合の性質

開集合の性質
X, d を距離空間とする。このとき、次の(O1), (O2), (O3)が成り立つ。

(O1) X 及び \varnothing はともに開集合.

(O2) 開集合の任意個の和は開集合である。
すなわち、G_{\mu}(\mu\in M) が開集合 \Rightarrow \cup_{\mu\in M} G_{\mu} は開集合.

(O3) 有限個の開集合の共通部分は開集合である。
すなわち、G_i(i=1,2,\cdots,n) が開集合 \Rightarrow \cap_{i = 1}^{n} G_i は開集合.

スウガくん
(O2) の 集合 M非可算でも大丈夫なんだ。
スウガくん
次に証明をみてみよう。青文字を目で追うと開集合の定義を満たしていることがわかるよ!

証明

(O1).

まず、{}^{\forall}x \in X とる。

S(x,1) = \{y \in X\ |\ d(x,y) < 1\} \subset X より、XX の開集合である。

次に、\varnothingX の開集合であることを示す。

そのためには、「x \in \varnothing \Rightarrow S(x,1) \in \varnothing」が真であればよい。

x \in \varnothing は成立しないので、x \in \varnothing \Rightarrow S(x,1) \in \varnothingは正しい。

よって、\varnothingX の開集合である。

(O2).

\cup_{\mu\in M} G_{\mu} = G とおき、x \in G とする。

x \in G だから、和集合の定義より、x \in G_{\mu_1} となる \mu_1 \in M が存在する。

仮定より、G_{\mu_1} は開集合であるから, S(x,\epsilon) \subset G_{\mu_1} となる \epsilon > 0が存在する。

S(x,\epsilon) \subset G_{\mu_1} \subset \cup_{\mu\in M} G_{\mu} = G.

よって、\cup_{\mu\in M} G_{\mu}X の開集合である。

(O3).

x \in \cap_{i = 1}^{n} G_i とする.

共通部分の定義より、x \in G_i ({}^{\forall}i \in \mathbb{N}) であり、

すべての G_iX の開集合であるから、各 i = 1,2,\cdots,n に対して、

S(x,\epsilon_i) \subset G_i となる \epsilon_i > 0 が存在する。

\epsilon = min\{\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n\} とおくと、

S(x,\epsilon) \subset S(x,\epsilon_i) \subset G_i (i = 1,2,\cdots,n) であるから,

S(x,\epsilon) \subset \cap_{i = 1}^n G_i.

したがって、\cap_{i = 1}^n G_iX の開集合である.  □