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収束ならば有界【実数列】

2021年7月5日

実数上の収束列は有界列

実数列 $\{a_n\}$ が収束していれば、この $\{a_n\}$ は有界である。

$a_n → a(n→\infty)$ とする.

${}^{\exists}N\in\mathbb{N} {}^{s.t.} N \le n \Rightarrow |a_n - a| < 1$ .

よって、 $N \le n$ のとき、　 $a-1 < a_n < a+1$ .

$M = max\{a_1, a_2,\cdot\cdot\cdot,a_{N - 1},a + 1\}$ 、

$m = min\{a_1, a_2,\cdot\cdot\cdot,a_{N - 1},a - 1\}$ とおくと、

$m \le a_i \le M ({}^{\forall}i\in\mathbb{N})$ が成立.

よって、 $\{a_n\}$ は有界である.

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かいき

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