C[a,b] の閉集合にはどんなものがあるでしょうか?
はじめに
前回の記事では、以下の主張が正しいことを証明した。
を閉区間
上の実数値連続関数全体の集合とする。
に対し,
と定めると, は距離空間となる。
この証明はこちら。
では、この距離空間上の閉集合にはどんなものがあるだろうか。
それを一緒に見ていこう。
閉集合の例
とおく。
このとき、 は距離空間
の閉集合である。
証明
方針:
が閉集合であることを示すので、
を示せばよい。ここで、
は
の閉包を表している。
証明:
は一般に成立するので,
を示せばよい。
とする。
は
の触点なので,
(
).
よって, に対して,
より
であることと
より
であることに注意する。
すなわち,
(「任意の正の数 ε で抑えられるとき」より)
よって,
以上より, .
結論:
は距離空間
の閉集合である。