集合( 和集合、共通部分、部分集合 )

よく使う集合の表記法や和集合、共通部分、部分集合、集合として等しいことの定義を紹介する。

よく使う集合の表記法

\mathbb{N} とかいて自然数全体のなす集合をあらわす。\mathbb{N} = \{\ 1,2,3,4,5,\cdots\ \}

\mathbb{Z} とかいて整数全体のなす集合をあらわす。\mathbb{Z} = \{\ \cdots,-2,-1,0,1,2,\cdots\ \}

\mathbb{Q} とかいて有理数全体のなす集合をあらわす。\mathbb{Q} = \{\ \frac{q}{p}\ |\ p\in\mathbb{N},q\in\mathbb{Z}\ \}

\mathbb{R} とかいて実数全体のなす集合をあらわす。

\mathbb{C} とかいて複素数全体のなす集合をあらわす。\ \mathbb{C} = \{a + bi \ |\ a,b \in\mathbb{R}\ \}

定義(和集合と共通部分)

和集合

定義(和集合)
A, B を集合とする。

A \cup B = \{\ x\ |\ x\in A\ または\ x\in B\ \}.

とかき、A \cup BA と B の和集合という。

一般に:

\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \{\ x\ |\ {}^{\exists}n\in\mathbb{N}, {}^{s.t.}x\in A_{n}\ \}

x \in A \cup B\Leftrightarrowx\in A または x\in B 」となるよ。

共通部分

定義(共通部分)
A, B を集合とする。

A \cap B = \{\ x\ |\ x\in A\ かつ\ x\in B\ \}.

とかき、A \cap B A と B の共通部分という。

一般に:

\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \{\ x\ |\ {}^{\forall}n\in\mathbb{N}に対し, x\in A_{n}\ \}

 

定義(部分集合, 等しい集合)

部分集合

定義(部分集合)
A, B を集合とする。

x\in A \Rightarrow x\in B が成立するとき,

AB の部分集合であるといい, A \subset B ( または、A \supset B ) で表す。

「集合として等しい」とは

定義(集合が等しい)
A, B を集合とする。

A \subset B かつ A \supset B

が成立するとき、AB は等しい といい, A = B で表す。