収束の定義とよく使う性質。
収束の定義
実数列 が
に収束するとは、
に対し、
が存在して、
が成立することをいう.
性質の例
において、
で,
がすべての
に対して成り立つとき、
である。
証明
背理法を用いる。
と仮定する。
なので ,
より,
.
より,
.
とおくと、
だから、
.
よって,
これは, に矛盾する.
ゆえに, . □
等号が成り立つ場合は?
上の命題において、等号が成り立つ場合、すなわち、a=bとなる数列と
の組み合わせを見つけてみよう。
とおき、この数列を考える。
より
命題の仮定 を満たしていることが分かる。
また、に対して、 アルキメデスの原理より、
が存在する。
のとき
.
.
ゆえに、.
上の命題でいうところのaとbは0であるとわかった。よってこの2つの数列は、となる
数列と
の組み合わせである。
ほかにも、自分でになる例や、
になる例をさがしてみると理解が早い。