数列の収束と性質の例

収束の定義とよく使う性質。

収束の定義

収束
実数列 \{a_n\}_{n=1}^{\infty} が a\in\mathbb{R} に収束するとは、

{}^{\forall}\epsilon > 0 に対し、N\in\mathbb{N} が存在して、

N \le n \Rightarrow |a_n - a| < \epsilon が成立することをいう.

性質の例

\mathbb{R} において、a_n \to a (n \to \infty) , b_n \to b(n \to \infty) で,

a_n < b_n がすべての n\in\mathbb{N} に対して成り立つとき、

a \le b である。

証明

背理法を用いる

a > b と仮定する。a - b > 0 なので ,

a_n \to a  (n \to \infty) より, {}^{\exists} N_1\in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_1 \le n \Rightarrow |a_n-a| < \frac{a -b}{2}.

b_n \to b  (n \to \infty) より, {}^{\exists} N_2\in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_2 \le n \Rightarrow |b_n-b| < \frac{a -b}{2}.

N_0 = max\{N_1,N_2\}とおくと、N_1 \le N_0, N_2 \le N_0 だから、

b_{N_0} - a_{N_0} < \frac{a +b}{2} - \frac{a + b}{2} = 0.

よって, b_{N_0} < a_{N_0}.

これは, a_n < b_n ({}^{\forall}n\in\mathbb{N})矛盾する.

ゆえに, a \le b .    □

等号が成り立つ場合は?

上の命題において、等号が成り立つ場合、すなわち、a=bとなる数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}と \{b_n\}_{n=1}^{\infty}の組み合わせを見つけてみよう

a_n = -\frac{1}{n}, b_n = \frac{1}{n} (n = 1,2,\cdots) とおき、この数列を考える。

a_n =  -\frac{1}{n} < 0 <  \frac{1}{n} = b_n  (n = 1,2,\cdots) より

命題の仮定 a_n < b_n  (n=1,2,\cdots) を満たしていることが分かる。

また、{}^{\forall}\epsilon > 0に対して、 アルキメデスの原理より、

N > \frac{1}{\epsilon}となるN\in\mathbb{N}が存在する。

N \le n のとき |a_n - 0| = |a_n| =|-\frac{1}{n}|=\frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \epsilon.

|b_n - 0| = |b_n| =|\frac{1}{n}|=\frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \epsilon.

ゆえに、a_n \to 0 (n\to\infty), b_n \to 0 (n\to\infty).

上の命題でいうところのaとbは0であるとわかった。よってこの2つの数列は、a=bとなる

数列\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\{b_n\}_{n=1}^{\infty}の組み合わせである。

ほかにも、自分でa=bになる例や、a<bになる例をさがしてみると理解が早い。