線形空間 ( ベクトル空間 )

ベクトル空間の定義と基本的な性質の証明の紹介。

線形空間(ベクトル空間)の定義

線形空間
\mathbb{K}=\mathbb{R} or \mathbb{C} とする. 集合 X の元に対し,

和:x + y \in X\ (x, y\in X),
スカラー倍:\alpha x\in X\ (\alpha\in\mathbb{K}, x\in X)

が定まり, 以下の8つの条件を満たすとき, X(\mathbb{K}-)線形空間という。
また, \mathbb{K}線形空間 X の係数体という.

(L1) (x + y) + z = x + (y + z) ( {}^{\forall}x, y, z\in X )

(L2) x + y = y + x ( {}^{\forall}x,y\in X )

(L3) Xの元 o が存在して, x + o = o + x = x ({}^{\forall}x\in X).
この元 oゼロベクトルという.

(L4) Xの任意の元xに対して,
x + x' = x' + x = oとなる X の元 x' が存在する.
この元x'x逆ベクトルといい, -xとかく. :x' = -x.

(L5) \lambda (x + y) = \lambda x +\lambda y ({}^{\forall}\lambda\in\mathbb{K}, {}^{\forall}x, y\in X)

(L6) (\lambda + \mu)x = \lambda x +\lambda x ({}^{\forall}\lambda, \mu \in\mathbb{K}, {}^{\forall}x \in X)

(L7) (\lambda \mu)x = \lambda (\mu x) ({}^{\forall}\lambda, \mu \in\mathbb{K}, {}^{\forall}x \in X)

(L8) 1x = x ({}^{\forall}x\in X).

線形空間の簡単な性質

X\mathbb{K}-線形空間とする。

① ゼロベクトルoはただ1つに限り存在する.

0 x = o ({}^{\forall}x\in X) が成立する.

証明


oをゼロベクトルとする.
背理法で示す.
o \neq o' となるゼロベクトル o' が存在するとする.
o'\in Xoはゼロベクトルだから, (L3)より,
o' + o = o'.    (※1)
一方でo\in Xo'もゼロベクトルだから, (L3)より,
o' + o = o.     (※2)

(※1) と(※2)を合わせて, o' = o.
これは, o \neq o'に矛盾する.

よって, o \neq o' となるゼロベクトル o'は存在しない.
すなわち, ゼロベクトルoはただ1つに限り存在する.


x\in X とする. スカラー倍で閉じているから, 0 x \in X であることに注意する.

0 x \in X(L4)より, 0x+ (-0x) = oとなる 0x の逆元 -0x が存在する.

つまり, o = 0x + (-0x) .

さらに,
0x + (-0x) = (0 + 0)x + (-0x)  ( \mathbb{K}上で0 = 0+0より )
= (0x + 0x) + (-0x)    ((L6)より )
= 0x +(0x + (-0x))    ((L1)より )
= 0x + o                    ( (L4)より )
=0x                           ( (L3)より ).

以上より, 0x = o  ({}^{\forall}x\in X). □