完備距離空間と例【連続性の公理】

完備距離空間とは、
任意のコーシー列が収束する距離空間」のことです。

「コーシー列が収束するのは当たり前じゃん」そう思うかもしれません。ですが、これは一般には成立しないのです。

コーシー列だけど収束しない数列や点列を
見つけることができます。
詳しく知りたい方はこちら↓を参照してくださいね。

「コーシー列ならば収束列は成り立つか?」

完備距離空間の定義と例を見ていこう。
その前に必要な知識は、次の3つ。

距離空間の定義はリンク先で確認してください。

コーシー列と収束列

コーシー列の定義

コーシー列
X を距離空間とし、\{x_n\}_{n=1}^{\infty}X の点列とする。

{}^{\forall}\epsilon > 0, {}^{\exists}n_0\in\mathbb{N}, {}^{s.t.}n_0 \le n,m \Rightarrow d(x_n,x_m) < \epsilon

が成立するとき、\{x_n\}_{n=1}^{\infty}コーシー列であるという。

収束列の定義

収束
X を距離空間とする。\{x_n\}_{n=1}^{\infty}X の点列とし、x_0\in X とする。

{}^{\forall}\epsilon > 0, {}^{\exists}n_0\in\mathbb{N}, {}^{s.t.}n_0 \le n \Rightarrow d(x_n,x_0) < \epsilon

が成立するとき、\{x_n\}_{n=1}^{\infty}x_0収束するという。

完備距離空間

完備距離空間の定義

完備距離空間
X を距離空間とする。

X 内の任意のコーシー列が X において収束するとき、

X完備距離空間という。

冒頭で説明したように、一般の距離空間ではコーシー列は収束しないことがあります。しかし、完備距離空間では、コーシー列は必ず収束します。

完備距離空間の例

実数空間\mathbb{R}完備距離空間です。

これを示すには、\mathbb{R} 内の任意のコーシー列が収束することを述べる必要があります。

だけど、実はこれ、実数の公理の1つなんです。

連続性の公理:コーシー列は必ず収束し かつ アルキメデスの公理が成立する

だから、証明する必要がないんです。

「だけど、これの証明見たことあるよ?」
「いや、これを証明しろという宿題なんだが???」

という方もいるかもしれません。

そんなあなたには、証明があるんです。
どういうことか。
連続性の公理に何を採用しているかで、
証明のあるなしが決まります。

連続性の公理には同値なものが6つあります。
どんなものがあるか、簡単に書くと下記のようになります。

6つの連続性の公理は同値

公理1.コーシー列は収束、アルキメデスの公理

公理2.上に有界な空でない部分集合には上限が必ず存在する

公理3.デデキントの公理

公理4.単調有界数列は必ず収束する

公理5.カントールの区間縮小法、アルキメデスの公理

公理6. 有界な数列は収束する部分列をもつ

この6つはすべて同値です。だから、公理2~6のうちどれかを連続性の公理として、採用している場合、「コーシー列は収束する」は証明すべき命題となります。公理1を選んでいるときは、証明の必要はありません。

あなたが受けている講義や、読んでいる本ではどの公理で話が進んでいるか、確認してくださいね!

この6つの公理が同値であることの証明を理解すると、
実数に対する理解が深まります。

「論理的に理解したい」、
「できるだけ、行間を考えずに楽に理解したい」

という人には、「実数論講義」という本がオススメ。
突っ込みどころがないくらい、厳密に書かれています。
こちらを参考にしてください。

完備距離空間の話から、実数の連続性の話まで、さかのぼってしまいました。

寄り道をしたようで、寄り道をしていない。

寄り道をしたときに、理解が深まる。
数学にはそんな面白さがありますね!

今回は、以上です。
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