ハイネ・ボレル(Heine-Borel)の被覆定理【証明】

ハイネ・ボレルの被覆定理

ハイネ・ボレルの被覆定理
a \le b , a,b\in \mathbb{R} とする。

有界閉区間 [a,b] はコンパクトである。

証明しよう

証明の方針:

[a,b] がコンパクトであることを示す。

定義通りに示すなら、
[a,b] の任意の開被覆 \{ G_{\mu}\} に対して、
その中の適当な有限個 G_{\mu_1},\cdots,G_{\mu_n} を選んで、
[a,b] \subset \displaystyle\bigcup_{i = 1}^{n} G_{\mu_i} とできることをいえばよい。

背理法で示す。

\{ G_{\mu}\}[a,b] の任意の開被覆とし、
どんな有限個の開被覆G_{\mu_1},\cdots,G_{\mu_n} を選んでも、
[a,b] \not\subset \displaystyle\bigcup_{i = 1}^{n} G_{\mu_i} となると仮定する。

このとき、矛盾がでることをいえばよい。

証明:

背理法で示す。

\{ G_{\mu}\}[a,b] の任意の開被覆とする。

[a,b] は\{G_{\mu}\} のうちの有限個では覆えないと仮定する。

c = \frac{a + b}{2} とおく。

すると、c は閉区間 [a,b] を2等分する点である。

閉区間 [a,b]\{G_{\mu}\} のうちの有限個では覆えないので、
[a,c][c,b] のうちで少なくともどちらか一方は \{G_{\mu}\} のうちの有限個で覆えない。

なぜなら、[a,c][c,b] の両方とも \{G_{\mu}\} のうちの有限個で覆えるとすると、

[a,b] が \{G_{\mu}\} のうちの有限個で覆えることになってしまい、仮定に矛盾するからである。

[a,c][c,b] のどちらとも \{G_{\mu}\} のうちの有限個で覆えない場合は、[a,c] = [a_1, b_1] とし、

[a,c][c,b] の片方のみ \{G_{\mu}\} のうちの有限個で覆えない場合は、その\{G_{\mu}\} のうちの有限個で覆えないほうを [a_1, b_1] とおく。

さらに、[a_1, b_1] を2等分して2つの閉区間を考えると、

同じように、そのうちで少なくともどちらか一方は \{G_{\mu}\} のうちの有限個で覆えない。

そして、先ほどと同様に、[a_2,b_2] を定義する。

この操作を繰り返す。すると、

[a_1,b_1] \supset [a_2,b_2] \supset [a_3,b_3]\supset\cdots

となる有界閉区間の列 \{[a_i,b_i]\}_{i = 1}^{\infty} がとれる。

区間の幅を考えると、a_n,b_n のとり方より、

b_n - a_n = \frac{1}{2^n}(b - a)

\to 0 ( n \to \infty ).

カントールの区間縮小法より、
\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n =\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = x_0
となる x_0 \in [a,b] が存在する。

[a,b] \subset \displaystyle\bigcup_{\mu} G_{\mu} なので、
x_0 \in G_{\mu_0} となる \mu_{0} が存在。

G_{\mu_0}\mathbb{R} の開集合であるから、
{}^{\exists}\epsilon > 0, S_{\epsilon}(x_0) \subset G_{\mu_0}

\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n =\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = x_0 なので、
[a_{n_0},b_{n_0}] \subset S_{\epsilon}(x_0) となるように n_0\in \mathbb{N} がとれる。

すると、[a_{n_0},b_{n_0}] \subset S_{\epsilon}(x_0) \subset G_{\mu_0}となり、
[a_{n_0},b_{n_0}] は一個の G_{\mu_0} で覆われてしまっている。

これは、各 [a_n, b_n]\{G_{\mu}\} のうちの
有限個で覆えないことに矛盾。

仮定が間違っていた。
[a,b]\{G_{\mu}\} のうちの有限個で覆える。

結論:

有界閉区間 [a,b] はコンパクトである。

これが、ハイネ・ボレルの被覆定理であった。