収束ならば有界【実数列】

実数上の収束列は有界列

収束ならば有界
実数列 \{a_n\} が収束していれば、この \{a_n\} は有界である。

証明

a_n → a(n→\infty)とする.

{}^{\exists}N\in\mathbb{N} {}^{s.t.} N \le n \Rightarrow |a_n - a| < 1.

よって、N \le n のとき、 a-1 < a_n < a+1.

M = max\{a_1, a_2,\cdot\cdot\cdot,a_{N - 1},a + 1\}

m = min\{a_1, a_2,\cdot\cdot\cdot,a_{N - 1},a - 1\}とおくと、

m \le a_i \le M ({}^{\forall}i\in\mathbb{N})が成立.

よって、\{a_n\}は有界である.