離散距離空間(証明付き)
) 上の任意の元
に対して、
(1)
で定める。
このとき, は距離空間である。
スウガくん
この距離空間には離散距離空間という名前がついているよ。
証明
をとる。
なので,
はよい.
また, の定義の仕方から,
で,
のとき, 仮に
であるとすると,
となって矛盾する.
よって,
合わせて,
のとき,
.
のとき,
.
よって, .
は 0 か 1 のみを値にとるので、
と
で場合分けして考える.
のときは、
の定義より,
.
のとき,
より, 「
または
」 である。
実際, 仮に 「 かつ
」 とすると,
となり,
に矛盾する.
よって, 「 または
」なので,
.
ゆえに, . □