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全射でも単射でもない関数と証明

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} を f(x)=|3x-2| で定める.

このとき, fは全射でも単射でもない.

今回はこれを示すことが目標です.

全射と単射の定義

繰り返しになりますが,
これから示すことは, 上記で定めた関数fが, 全射でないことと単射でないことです。

そのためには, 全射と単射の定義を知っていて, 理解している必要があるよ.

忘れた方は, ↓で確認してね.

全射と単射

また, 定義の否定をつくるのがポイントだよ.

全射でないこと

-1\in\mathbb{R}に対し,

どんなz\in\mathbb{R}をとっても, f(z)\neq -1.

f(z)=-1となるx\in\mathbb{R}は存在しない.

したがって, fは全射ではありません.

単射でないこと

x_1=0, x_2=\frac{4}{3}とおく.

このとき, x_1\neq x_2で,

f(x_1)=|-2|=2

=|3\cdot\frac{4}{3}-2|=f(x_2).

すなわち, f(x_1)=f(x_2).

よって,fは単射ではない.

以上で証明は終わりです。
紙にfを書きながらやると, わかりやすいよ.

ぜひやってみて.

ではまた.

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