数学 Math2018.07.19 2018.09.20 mather

連続性の証明 f(x)=x^2+ax+b は x=1 において連続

目次

1 f(x)=x^2+ax+b の x=1 における連続性の証明
2 証明

f(x)=x^2+ax+b の x=1 における連続性の証明

関数 $f(x)=x^2+ax+b\ (\ a,b$ は定数) は $x=1$ で連続である。

証明

任意に $\epsilon>0$ をとる.

$\delta=\min\{1,\frac{\epsilon}{3+|a|}\}$ とおくと,

$\delta\le1$ かつ $\delta\le\frac{\epsilon}{3+|a|}.$

$|x-1|<\delta$ のとき,

$\delta\le1$ より

$|x-1|<1($ すなわち、 $0 < x < 2)$ であるから,

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(1)| &=& |x^2+ax+b-(1+a+b)|\\ &=& |x-1||x+1+a|\\ &\le& |x-1|(|x+1|+|a|)\\ &<& (3+|a|)\delta\\ &\le& \epsilon. \end{eqnarray*}$