連続性の証明 f(x)=x^2+ax+b は x=1 において連続

f(x)=x^2+ax+b の x=1 における連続性の証明

関数 f(x)=x^2+ax+b\ (\ a,b は定数) は x=1 で連続である。

証明

任意に \epsilon>0 をとる.

\delta=\min\{1,\frac{\epsilon}{3+|a|}\} とおくと,

\delta\le1 かつ \delta\le\frac{\epsilon}{3+|a|}.

|x-1|<\delta のとき,

\delta\le1 より

|x-1|<1( すなわち、0 < x < 2) であるから,

    \begin{eqnarray*} |f(x)-f(1)| &=& |x^2+ax+b-(1+a+b)|\\ &=& |x-1||x+1+a|\\ &\le& |x-1|(|x+1|+|a|)\\ &<& (3+|a|)\delta\\ &\le& \epsilon. \end{eqnarray*}