位相空間の定義【距離空間からつくられる位相空間】

位相空間の定義を確認し、距離空間から自然につくられる位相空間とその証明を紹介します。

定義(位相空間)

定義 (位相空間)
X (\neq \varnothing) を集合とし、
\mathbb{G}Xのいくつかの部分集合からなる族とする。このとき次の (T1),(T2),(T3) が成り立つなら\mathbb{G}位相といい、(X, \mathbb{G})位相空間という

(T1) \varnothing, X \in\mathbb{G}.

(T2) G_{\mu}\in\mathbb{G}\ (\mu\in M) \Rightarrow \bigcup_{\mu\in M}G_{\mu}\in\mathbb{G}.

(T3) G_i\in\mathbb{G}\ (i=1,2,\cdots,n) \Rightarrow \bigcap_{i=1}^n G_i \in\mathbb{G}.

距離空間からつくられる位相空間

距離空間からつくられる位相空間
(X,d) を距離空間とする。
\mathbb{G} を X の開集合全体の族とするとき,
(X,\mathbb{G}) は位相空間となる.

証明

方針

(X,\mathbb{G}) が位相空間となることを示すので, 位相の定義における
位相の条件 (T1),(T2), (T3)を満たすことを示せばよい

また,すべての条件において, 開集合の性質を使うので,
距離空間上の開集合の性質」を参照する。

証明

(X,d) を距離空間とし, \mathbb{G}X の開集合全体の族とする。

(T1)

XX の開集合であるから,X \in \mathbb{G}.

\varnothingX の開集合であったから, \varnothing \in \mathbb{G}.

(T2)

任意個の開集合 G_{\mu}(\mu\in M) に対し,

任意個の開集合の和集合は開集合であるので, \displaystyle\bigcup_{\mu\in M} G_{\mu}\in \mathbb{G}.

(T3)

有限個の開集合 G_i (i =1,2,\cdots,n) に対し,

有限個の開集合の共通部分は開集合だから,\displaystyle \bigcap_{i=1}^n G_i \in \mathbb{G}.

結論

位相の条件 (T1),(T2), (T3) を満たしたので, (X,\mathbb{G}) は位相空間である