位相空間の定義を確認し、距離空間から自然につくられる位相空間とその証明を紹介します。
定義(位相空間)
を集合とし、
を
のいくつかの部分集合からなる族とする。このとき次の
が成り立つなら
を位相といい、
を位相空間という
距離空間からつくられる位相空間
を距離空間とする。
を
の開集合全体の族とするとき,
は位相空間となる.
証明
方針:
が位相空間となることを示すので, 位相の定義における
位相の条件 を満たすことを示せばよい。
また,すべての条件において, 開集合の性質を使うので,
「距離空間上の開集合の性質」を参照する。
証明:
を距離空間とし,
を
の開集合全体の族とする。
は
の開集合であるから,
.
も
の開集合であったから,
.
任意個の開集合 に対し,
任意個の開集合の和集合は開集合であるので, .
有限個の開集合 に対し,
有限個の開集合の共通部分は開集合だから,
結論:
位相の条件 を満たしたので,
は位相空間である。