シュワルツ(コーシー・シュワルツ)の不等式

「ワルツをマスターしたい」
シュワルツの不等式とカイキくん。

シュワルツの不等式とカイキくん

カイキくん
ワルツをマスターしたい。
スウガくん
ダンスでも踊るのかな?

シュワルツの不等式

シュワルツの不等式
 a_i, b_i\ ( i = 1, \cdots, n ) を実数とする. このとき,

    \[ (\ \sum_{i =1}^n a_i b_i\ )^2 \le (\ \sum_{i =1}^n a_i^2\ ) (\ \sum_{i =1}^n b_i^2\ ) \]

.

スウガくん
 Σがない形で書いてみよう!理解が深まるかも!

Σがない形で不等式の部分をかくと,

(\ a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n\ )^2\le (a_1^2 +a_2^2 +\cdots +a_n^2\ )(\ b_1^2 +b_2^2 + \cdots +b_n^2)

になるよ。

証明

a_i, b_i\ ( i = 1, \cdots, n ) を実数とし, t \in \mathbb{R} とする.

i = 1,2,\cdots,n に対して, (t a_i + b_i)^2 \ge 0 より、

\sum_{i =1}^n (t a_i + b_i)^2 \ge 0.   (※)

さらに,

\sum_{i =1}^n (t a_i + b_i)^2
=\sum_{i =1}^n (t^2 a_i^2 + 2 t a_i b_i + b_i^2 )
=(\displaystyle\sum_{i =1}^n  a_i^2)t^2+2(\sum_{i=1}^{n}a_i b_i)t+\sum_{i=1}^n b_i^2.

これを t に関する 2 次関数とみると, 下に凸なグラフでかける.

また (※) より, グラフは t 軸と共有点を持たないかまたは接している.

すなわちこれは, 判別式 D \le 0 の場合である.

よって,

\{2(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i b_i)\}^2-4(\sum_{i=1}^n a_i^2)(\sum_{i=1}^n b_i^2 )\le 0.

さらに, 4で割って, 移項すると

(\sum_{i =1}^n a_i b_i)^2 \le (\sum_{i =1}^n a_i^2) (\sum_{i =1}^n b_i^2).  □