はさみうちの原理の証明【数列】

2021年7月5日

数列の「はさみうちの原理」。

直感的な理解から、論理的な理解へ

直感的に理解できることは大切です。しかし、その直感は本当に正しいでしょうか。

そう思ったとき、厳密に考えるための「道具」が必要になります。

ここでの「道具」は　εーN論法（イプシロンーエヌ論法）です。

$\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n = \alpha$

かつ $a_n \le c_n \le b_n (n = 1,2,\cdots)$

ならば、 $\lim_{n \to \infty}c_n = \alpha$

$\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n = \alpha$ 　とする.

$\epsilon > 0$ 　とする. 収束の定義より,

${}^{\exists}N_1 \in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_1 \le n \Rightarrow |a_n - \alpha | < \epsilon$

${}^{\exists}N_2 \in\mathbb{N},{}^{s.t.}N_2 \le n \Rightarrow |b_n - \alpha | < \epsilon$

$N = \max\{N_1,N_2\}$ とおけば,

$N \le n$ のとき,
$\alpha - \epsilon < a_n < \alpha + \epsilon$

$\alpha - \epsilon < b_n < \alpha + \epsilon.$

$a_n \le c_n \le b_n ( {}^{\forall}n \in\mathbb{N})$ より,

$\alpha - \epsilon < c_n < \alpha + \epsilon.$

つまり, $|c_n - \alpha | < \epsilon.$

以上より, $\lim_{n \to \infty}c_n = \alpha.$ 　　　　□