はさみうちの原理を使う!数列の収束と有界性

数列の収束と有界性に関する問題。

数列の収束と有界性

\{a_n\},\{b_n\}を実数列とする。

a_n \to \infty(n \to \infty ), b_n \to \infty (n \to \infty )で,

\{a_n - b_n\}が有界ならば、\frac{b_n}{a_n} \to 1(n \to \infty ) を示せ.

証明

\{a_n - b_n\}有界だから,M > 0 が存在して,

-M < a_n - b_n < M ({}^{\forall} n\in \mathbb{N}).

変形して,

a_n - M < b_n < a_n + M.

また, a_n \to \infty\ (n \to \infty ) より,

{}^{\exists}N \in \mathbb{N},{}^{s.t.}N \le n \Rightarrow a_n > 0.

N \le n のとき a_n \neq 0 なので, a_n で割れる.

\frac{a_n-M}{a_n} < \frac{b_n}{a_n} < \frac{a_n+M}{a_n}

1- \frac{M}{a_n} < \frac{b_n}{a_n} < 1 + \frac{M}{a_n}

n \to \infty とすれば、

1 - \frac{M}{a_n} \to 1 かつ 1 + \frac{M}{a_n} \to 1.

はさみうちの原理」より、\frac{b_n}{a_n} \to 1.