はさみうちの原理を使う！数列の収束と有界性

2021年7月5日

数列の収束と有界性に関する問題。

数列の収束と有界性

$\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ を実数列とする。

$a_n \to \infty(n \to \infty ), b_n \to \infty (n \to \infty )$ で,

$\{a_n - b_n\}$ が有界ならば、 $\frac{b_n}{a_n} \to 1(n \to \infty )$ を示せ.

$\{a_n - b_n\}$ は有界だから, $M > 0$ が存在して,

$-M < a_n - b_n < M ({}^{\forall} n\in \mathbb{N}).$

変形して,

$a_n - M < b_n < a_n + M.$

また, $a_n \to \infty\ (n \to \infty )$ より,

${}^{\exists}N \in \mathbb{N},{}^{s.t.}N \le n \Rightarrow a_n > 0.$

$N \le n$ のとき $a_n \neq 0$ なので, $a_n$ で割れる.

$\frac{a_n-M}{a_n} < \frac{b_n}{a_n} < \frac{a_n+M}{a_n}$

$1- \frac{M}{a_n} < \frac{b_n}{a_n} < 1 + \frac{M}{a_n}$

$n \to \infty$ とすれば、

$1 - \frac{M}{a_n}　\to 1$ 　かつ　 $1 + \frac{M}{a_n} \to 1$ .

「はさみうちの原理」より、 $\frac{b_n}{a_n} \to 1.$