ド・モルガンの法則とその証明

ド・モルガンの法則

$(A\cup B)^{c} = A^c \cap B^c$

一般に： $(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_{\lambda})^c = \displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda^c$

$(A\cup B)^{c} = A^c \cap B^c$ 　を示す。

( $\subset$ )

$x \in (A\cup B)^{c}$ とする。

$x\notin A\cup B$ .

$x\notin A$ かつ $x\notin B$ .

$x\in A^c$ かつ $x\in B^c$ .

$x\in A^c \cap B^c$ .

したがって, $(A\cup B)^{c} \subset A^c \cap B^c$

( $\supset$ )

$x\in A^c \cap B^c$ とする。

$x\in A^c$ かつ $x \in B^c$

$x \notin A$ かつ $x \notin B$

$x \notin A\cup B$

$x \in (A\cup B)^c.$

したがって, $(A\cup B)^{c} \supset A^c \cap B^c$

( $\subset$ ) と ( $\supset$ ) を合わせて,

$(A\cup B)^{c} = A^c \cap B^c$ .

$(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_{\lambda})^c = \displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda^c$ を示す。

( $\subset$ )

$x \in (\displaystyle\bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_{\lambda})^c$ とする。

$x\notin \displaystyle\bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_{\lambda}$ .

$x\notin A_\lambda$ $({}^{\forall}\lambda\in\Lambda)$ .

$x\in A_\lambda^c$ $({}^{\forall}\lambda\in\Lambda)$ .

$x\in \displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda^c$ .

したがって, $(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_{\lambda})^c \subset \displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda^c$

( $\supset$ )

$x\in \displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda^c$ とする。

$x\in A_\lambda^c$ $({}^{\forall}\lambda\in\Lambda)$

$x \notin A_{\lambda}$ $({}^{\forall}\lambda\in\Lambda)$

$x \notin \displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda$

$x \in (\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda)^c.$

したがって, $(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_{\lambda})^c \supset \displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda^c$

( $\subset$ ) と ( $\supset$ ) を合わせて,

$(\displaystyle\bigcup_{\lambda\in \Lambda} A_{\lambda})^c = \displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda^c$ .