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[a,b] 上実数値連続関数全体の集合 C[a,b] 距離空間【証明付き】

[a,b] 上実数値連続関数全体の集合 C[a,b] は距離空間です。
その証明を一緒に見ていきましょう！

[a,b] 上実数値連続関数全体の集合 C[a,b]

C[a,b] を閉区間 [a,b] 上の実数値連続関数全体の集合とする。

f,g\in C([a,b]) に対し,

d(f,g) =\displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)|

と定めると,(C[a,b],d) は距離空間となる。

距離空間の定義はこちら「距離空間の定義と例」

証明

方針：

(C[a,b],d) が距離空間であることを示せばよいので, d が距離の定義を満たしていることを示せばよい。
(M1),(M2),(M3) の順に示す。

証明：

f,g,h\in C([a,b])とする。

(M1)

d(f,g) = \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)|

\ge 0.

d(f,g) = 0 \Leftrightarrow \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)| = 0

\Leftrightarrow |f(x) - g(x)| \le 0 ({}^{\forall}x\in[a,b])     (\maxの定義より)

\Leftrightarrow　f(x) = g(x) ({}^{\forall}x\in[a,b])

\Leftrightarrow f = g .

(M2)

d(f,g) = \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)|

= \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|g(x) - f(x)|

=d(g,f).

(M3)

{}^{\forall}x \in [a,b]をとる。

|f(x) - g(x)| = |f(x) - h(x) + h(x) - g(x)|

\le |f(x) - h(x)| + |h(x) - g(x)|

\le \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - h(x)| + \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|h(x) - g(x)|.

よって, \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - h(x)| + \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|h(x) - g(x)| は

\{|f(x) - g(x)| | x\in[a,b]\} の上界である。

最大元\displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)|は

\{|f(x) - g(x)| | x\in[a,b]\} の要素なので, 上界の定義より,

\displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - g(x)| \le \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|f(x) - h(x)| + \displaystyle\max_{x\in[a,b]}|h(x) - g(x)|.

すなわち,

d(f,g) \le d(f,h) + d(h,g).

結論：

(C[a,b],d) は距離空間である。

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