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全単射写像をつくる方法【[0,1) から (0,1) へ】

全射、単射、全単射の定義と[0,1) から (0,1) への全単射写像をつくる方法を紹介する。

全射と単射、全単射

全射の定義

f:X \to Y を写像とする。

任意の y \in Y に対して、f(x) = y となる x \in X が存在するとき、

f は全射であるという。

つまり、記号で書くと、

{}^{\forall}y\in Y,{}^{\exists}x\in X,{}^{s.t.}f(x) = y が成立することです。

単射の定義

f:X \to Y を写像とする。

x,x'\in X , x \neq x' \Rightarrow f(x) \neq f(x') が成立するとき、

f は単射であるという。

全単射の定義

f:X \to Y を写像とする。

f が全射かつ単射であるとき、f は全単射であるという。

全単射は、双射、上への１対１写像、一対一対応などともいいます。

本によって呼ばれ方が変わるので、覚えておくと便利です。

[0,1) から (0,1) への全単射写像

問. [0,1) から (0,1) への写像で全単射となる写像をつくれ。

解答例

写像 f : [0,1) \to (0,1) を

(1)   \begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & (x = 0) \\ \frac{1}{n + 2} & (x =\frac{1}{n + 1}, n\in\mathbb{N})\\ x & (x \neq 0, \frac{1}{n + 1}) \end{cases} \end{equation*}

で定める。

このとき、この f が [0,1) から (0,1) への全単射写像であることを示す。

全単射写像は全射かつ単射の写像でした。

なので、

  • 全射であること
  • 単射であること

をそれぞれ確かめてみよう。

（全射であること）

{}^{\forall}y\in (0,1)  をとる。

(i) y = \frac{1}{2} のとき、

x = 0 とおくと、f(0) = \frac{1}{2} = y.

(ii) y\in \{\frac{1}{n + 2} \mid n\in\mathbb{N}\} のとき、

y = \frac{1}{n_0 + 2} となる n_0\in\mathbb{N} が存在する。

x = \frac{1}{n_0 + 1} とおくと、f(\frac{1}{n_0 + 1}) = \frac{1}{n_0 + 2} = y.

(iii) y \in \displaystyle\bigcup_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n + 1},\frac{1}{n}) のとき、

x = y とおくと、f(x) = y.

よって、以上より、f は全射である。

（単射であること）

x_1, x_2 \in [0,1) , x_1 \neq x_2 とする。

(i) x_1 = 0, x_2 \in \{\frac{1}{n+1} \mid n \in\mathbb{N} \} のとき、

x_2 = \frac{1}{n_2 + 1} となる n_2\in\mathbb{N} が存在する。

f(x_1) = \frac{1}{2}, f(x_2) =\frac{1}{n_2 + 2} \le \frac{1}{3}.

よって、f(x_1) \neq f(x_2).

(ii) x_1 = 0, x_2 \in \displaystyle\bigcup_{n = 1}^{\infty}(\frac{1}{n + 1},\frac{1}{n}) のとき、

f(x_1) = \frac{1}{2}, f(x_2) = x_2.

x_2 の取り方より, x_2 \not\in \{\frac{1}{n + 1} \mid n\in\mathbb{N}\}  = \{\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\cdots\}

なので、x_2 \neq \frac{1}{2}.

よって、f(x_1) \neq f(x_2).

(iii) x_1,x_2\in\{\frac{1}{n+1}\mid n\in\mathbb{N}\} のとき、

x_1 = \frac{1}{n_1+1} となるような n_1\in\mathbb{N} が存在。

x_2 = \frac{1}{n_2+1} となるような n_2\in\mathbb{N} が存在。

x_1 \neq x_2 より, n_1 \neq n_2.

f(x_1) = \frac{1}{n_1 + 2} \neq \frac{1}{n_2 + 2} =f(x_2).

f(x_1) \neq f(x_2).

(iv) x_1, x_2 \in\displaystyle\bigcup_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{n + 1},\frac{1}{n}) のとき、

f(x_1) = x_1, f(x_2) = x_2.

x_1 \neq x_2 より、f(x_1) \neq f(x_2).

(v) x_1 \in \{\frac{1}{n+1}\mid n\in\mathbb{N}\},x_2\in\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n + 1},\frac{1}{n}) のとき、
x_1 = \frac{1}{n_3 + 1} となるような n_3\in\mathbb{N} が存在する。

f(x_1) = \frac{1}{n_3 + 2}, f(x_2) = x_2

ここで、n_3 + 1 = k とおくと、k は自然数なので、

\frac{1}{n_3 + 2} = \frac{1}{(n_3 + 1) + 1}

=\frac{1}{k+1}

\in\{\frac{1}{n+1}\mid n\in\mathbb{N}\}

である。

x_2 の取り方より、x_2 \neq \frac{1}{n_3 + 2}.

よって、f(x_2) \neq f(x_1).

以上より f は単射である。

全単射写像と濃度

また、これは[0,1) と(0,1) の濃度が等しいことを表しています。

濃度が等しいことの定義と、全単射写像の他の例を見てみたい方はサイト内で探してみてね。

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