well-definedの証明、アーベル群と部分群、商群

今回は、以下の問題を解けるようになることが目標です。

問題
アーベル群Gとその部分群Hに対して、
商群(剰余群)G/H における
和の定義[α] + [β] = [α + β] がwell-definedであることを示せ。
ここで、α, β は G の任意の元とする。

出てくるキーワードは、アーベル群と部分群、商群(剰余群)、well-defined の4つです。
まず、アーベル群と部分群、剰余群の定義を確認する。
その後、問題で、well-definedであることを示してみよう。

アーベル群

定義
Gを空でない集合とする。
G上に演算・が定義されていて、以下の3つの性質を満たすとき、Gをアーベル群という。

(G1) 単位元とよばれる元 e∈G が存在して、任意の a ∈ G に対し、a・e = e・a = a.
(G2) 任意の元 a ∈ G に対し、a・b = b・a = e となる元 b ∈ G が存在。この b は a の逆元とよばれる。
(G3) 任意の元 a, b, c ∈ G に対し、( a・b )・c = a・(b・c).
(G4) 任意の元 a, b ∈ G に対し、a・b = b・a.

よく見ると、(G1)から(G3)までは、群の条件です。
つまり、言い換えると、群でかつ(G4)の条件をみたせば、アーベル群であるということだね!

部分群

部分群の定義
Gを群とする。
HをGの部分集合とする。
Gで定義された演算でHが群になるとき、HをGの部分群という。
正規部分群の定義
HをGの部分群とする。
任意の g ∈ G, h ∈ H に対し、g・h・g -1 ∈ H であるとき、
HはGの正規部分群という。

ちなみに、アーベル群Gの部分群Hは必ず、正規部分群です。

実際、
任意の g ∈ G, h ∈ H に対し、
g・h・g -1 = h・g・g -1 = h ∈ H です。

商群(剰余群)

定義
G/H 上で演算を考えたものを、GのHによる商群という。
商群は剰余群ともいう。
また、ここで G/H は、
x -1・y∈ H であるとき x ~ y と定義した、この同値関係による商集合のことである。

同値関係や商集合についてはこちらでも説明しているのでどうぞ。
同値関係と商集合

ちなみに、下記の問題では、
演算の記号を + とし、逆元は – をつけて表しています。
また,アーベル群なので、
x ~ y ⇔ – x + y ∈ H ⇔ x – y ∈ H です。

well-definedの証明

問題
アーベル群Gとその部分群Hに対して、
商群(剰余群)G/H における
和の定義[α] + [β] = [α + β] がwell-definedであることを示せ。
ここで、α, β は G の任意の元とする。

解答の方針

α~α’ , β~β’ のとき、[α + β] = [α’ + β’] であることを示せばよい。

解答例

α~α’ , β~β’ とする。
任意の元 a ∈ G に対し、- a で a の逆元を表す。

α~α’ より、α – α’ ∈ H.
β~β’ より、β – β’ ∈ H.

α + β – (α’ + β’) = α + β – β’ – α’
=  α + β – β’ – α + α – α’
= (α + β – β’ – α) + (α – α’)
∈ H
(∵Hはアーベル群Gの部分群なので、正規部分群である。よって、α + (β – β’) – α ∈ H.)

よって、α + β ~ α’ + β’.

以上より、[α] + [β] = [α + β] はwell-definedである。