定義（順序関係と順序集合）
( 
) を集合とする。
に対し, 
か 
が定まっていて
以下の 
の３つの条件を満たすとき、
を順序関係という。
「
」 
.
「 かつ 
」 
.
また、順序関係を与えられた集合 を順序集合といい、
または で表す。
定義（最大元、極大元、上限）
を順序集合とし、
を の部分集合とする。
が の最大元であるとは、
で、
(
)
が成立することをいい、この最大元 
を 
で表す。
が の極大元であるとは、
で、
「
かつ 
」 
が成立することをいう。
が の上限であるとは、
,
が成立することをいい、この上限 を 
で表す。
例題（最大元は上限、最大元は存在しても１つ）
一般に最大元は上限であることと、最大元は存在しても一つであることを示せ。
解答例：
最大元は上限である
を順序集合とし、
を 
の部分集合とする。
が存在すると仮定する。
より, 
は の上界である。
すなわち、
(
.
をとると、
ここで、 は の元でもあるから、
ゆえに、黄色の下線 より 
.
したがって、最大元は上限である。
最大元は存在しても１つ
背理法を用いる。
仮に とは異なる の最大元が存在したとする。これを 
とおく。
より、
(
)
このとき、
だから、
.
より、
()
このとき、
だから、
.
より、
. これは仮定に矛盾。
したがって、最大元は存在する場合、一意的に存在する。