有界の定義
をノルム空間とし、
を 
内の点列とする。
が成立するとき、 は有界列であるという。
コーシー列の定義
をノルム空間とし、 を 内の点列とする。
が成立するとき、 はコーシー列であるという。
コーシー列は有界である。
をノルム空間, を 内の点列とする。このとき、
がコーシー列ならば、この点列 は有界列である。
証明
をノルム空間とし、
を 内の点列でコーシー列とする。コーシー列の定義より、
に対して,
.
なので, 
のとき, 
.
のとき、
変形すると、
とおく。
に対して、
.
の置き方から, もちろん
に対しても、
以上より, 
ゆえに、 は有界列である。 □
ちなみに、前記事の「収束列はコーシー列」の結果と合わせると、「収束列は有界列である」ということがわかる。是非、前記事も参照してほしい。