全射でも単射でもない関数と証明

2021年7月5日

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ を $f(x)=|3x-2|$ で定める.

このとき, $f$ は全射でも単射でもない.

今回はこれを示すことが目標です.

全射と単射の定義

繰り返しになりますが,
これから示すことは, 上記で定めた関数 $f$ が, 全射でないことと単射でないことです。

そのためには, 全射と単射の定義を知っていて, 理解している必要があるよ.

忘れた方は, ↓で確認してね.

また, 定義の否定をつくるのがポイントだよ.

$-1\in\mathbb{R}$ に対し,

どんな $z\in\mathbb{R}$ をとっても, $f(z)\neq -1$ .

$f(z)=-1$ となる $x\in\mathbb{R}$ は存在しない.

したがって, $f$ は全射ではありません.

$x_1=0, x_2=\frac{4}{3}$ とおく.

このとき, $x_1\neq x_2$ で,

$f(x_1)=|-2|=2$

$=|3\cdot\frac{4}{3}-2|=f(x_2)$ .

すなわち, $f(x_1)=f(x_2)$ .

よって, $f$ は単射ではない.

以上で証明は終わりです。
紙に $f$ を書きながらやると, わかりやすいよ.

ぜひやってみて.

ではまた.