有限集合はコンパクト【開被覆の定義】

この記事では、開被覆、コンパクトの定義を確認し、有限集合はコンパクトであるということを示します。

定義（開被覆）

$(X,\mathbb{G})$ を位相空間とする。

$K\subset X$ に対して,

$O_{\lambda}\in \mathbb{G}\ (\ \lambda\in\Lambda\ )$ かつ $K\subset \displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}$

を満たす集合族 $\{O_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $K$ の開被覆であるという。

$(X,\mathbb{G})$ を位相空間とし, $K$ を $X$ の部分集合とする。

K の任意の開被覆 $\{O_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対し,

その中の適当な有限個 $O_{\lambda_1},O_{\lambda_2},\cdots,O_{\lambda_n}$ を選んで,

$K\subset\displaystyle\bigcup_{i = 1}^n O_{\lambda_i}$ とできるとき,

$K$ はコンパクトであるという。

$(X,\mathbb{G})$ を位相空間とする。

$X$ の有限集合はコンパクトであることを示せ。

$X$ 内の有限集合を, $\{x_1, x_2,\cdots,x_n\}$ で表す。

$K = \{x_1, x_2,\cdots,x_n\}$ とおく。

$\{O_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ を $K \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}$ を満たす開集合族とする。

$\{x_1, x_2,\cdots,x_n\}\subset\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_{\lambda}$ より,

各 $x_i (i = 1,2,\cdots,n)$ に対して,

${}^{\exists}\lambda_{i}\in \Lambda, {}^{s.t.} x_i \in O_{\lambda_i}$ .

よって, $\{x_1, x_2,\cdots,x_n\}\subset \displaystyle\bigcup_{i=1}^n O_{\lambda_i}$ .

したがって, $\{x_1, x_2,\cdots,x_n\}$ はコンパクトである。

位相空間の有限集合はコンパクトである.