開集合族に関する問題

開集合族に関する問題を解いてみよう。

開集合族に関する問題

Rの集合族U’={U∈2^R | U∍0}を含む最小の開集合族Uを求め、実際にそうなることを説明してください。

開集合族に関する問題の解答

U’を含む最小の開集合族Uは、U=U’∪{∅}である。

A=U’∪{∅}とおく。Aが開集合族となることを示す。

(i) ∅, R∈Aは明らか。

(ii) U_1,・・・,U_n∈A ⇒ ∩_{i=1}^n U_i ∈Aを示す。

 U_i=∅となる1≦i≦nが存在するとき、∩_{i=1}^n=∅.

 すべての1≦i≦nに対してU_i≠∅のとき、任意のU_i∈Aに対してU_i∋0であるから、∩_{i=1}^n U_i∋0.

 よって、∩_{i=1}^n U_i∈A.

(iii) U_λ∈A (λ∈Λ) ⇒ ∪_{λ∈Λ}U_λ∈Aを示す。

 任意のλ∈Λに対しU_λ=∅のとき、∪_{λ∈Λ}U_λ=∅∈A.

 U_k≠∅となるk∈Λが存在するとき、U_k∋0より∪_{λ∈Λ}U_λ∋0.

 よって、∪_{λ∈Λ}U_λ∈A.

以上、(i)~(iii)より、Aは開集合族である。