開集合族に関する問題を解いてみよう。
開集合族に関する問題
Rの集合族U'={U∈2^R | U∍0}を含む最小の開集合族Uを求め、実際にそうなることを説明してください。
開集合族に関する問題の解答
U'を含む最小の開集合族Uは、U=U'∪{∅}である。
A=U'∪{∅}とおく。Aが開集合族となることを示す。
(i) ∅, R∈Aは明らか。
(ii) U_1,・・・,U_n∈A ⇒ ∩_{i=1}^n U_i ∈Aを示す。
U_i=∅となる1≦i≦nが存在するとき、∩_{i=1}^n=∅.
すべての1≦i≦nに対してU_i≠∅のとき、任意のU_i∈Aに対してU_i∋0であるから、∩_{i=1}^n U_i∋0.
よって、∩_{i=1}^n U_i∈A.
(iii) U_λ∈A (λ∈Λ) ⇒ ∪_{λ∈Λ}U_λ∈Aを示す。
任意のλ∈Λに対しU_λ=∅のとき、∪_{λ∈Λ}U_λ=∅∈A.
U_k≠∅となるk∈Λが存在するとき、U_k∋0より∪_{λ∈Λ}U_λ∋0.
よって、∪_{λ∈Λ}U_λ∈A.
以上、(i)～(iii)より、Aは開集合族である。